Problema 1
In un triangolo due angoli misurano rispettivamente 38 e 52 gradi. Calcola la misura del terzo angolo.Per risolvere questo problema occorre tenere bene a mente una proprietà fondamentale dei triangoli: la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a 180 gradi.
In base a questa proprietà, diventa molto semplice risolvere il problema. Dobbiamo cioè trovare la misura di quell'angolo che, sommata alle misure degli altri due, restituisce come risultato 180 gradi. Per trovare questo valore, dobbiamo sottrarre a 180 la somma degli altri due angoli:
L'ampiezza dell'angolo mancante è pari a 90 gradi, cioè è un angolo retto. Scopriamo anche che il triangolo in questione è un triangolo rettangolo.
Problema 2
Un triangolo ha il perimetro di 87 decimetri e due lati di lunghezza pari rispettivamente a 15 decimetri e 41 decimetri. Calcola la misura del terzo lato e classifica il triangolo in base alla lunghezza dei lati.In questo caso, il problema non verte sull'ampiezza degli angoli ma sulla lunghezza dei lati. È nota la lunghezza del perimetro e sono note le lunghezze di due dei suoi lati. Per ottenere la misura del terzo lato, ci basterà sottrarre alla misura del perimetro la somma delle lunghezze degli altri due suoi lati:
Il terzo lato è lungo 31 dm. I tre lati hanno lunghezze tutte diverse tra loro, per cui possiamo concludere che si tratta di un triangolo scaleno.
Per ulteriori approfondimenti sulla somma degli angoli interni di un triangolo, vedi anche qua
Problema 3
Un triangolo rettangolo ha l'ipotenusa lunga 50 centimetri e un angolo di 60 gradi. Determina la misura del suo perimetro e della sua area.Un triangolo rettangolo ha sempre un angolo di 90 gradi e due angoli acuti. Sapendo che uno dei due angoli acuti ha ampiezza pari a 60 gradi, e che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a 180 gradi, il terzo angolo avrà sicuramente ampiezza pari a:
In un triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60° accade sempre che il cateto opposto all'angolo di 30° è pari alla metà dell'ipotenusa
Per trovare la misura del cateto
A questo punto abbiamo tutti gli strumenti che ci servono per calcolare sia il perimetro che l'area del triangolo. Per il perimetro ci basta sommare tra loro le misure dei tre lati:
Per quanto riguarda l'area, visto che si tratta di un triangolo rettangolo, possiamo moltiplicare tra loro i cateti e dividere il risultato per due:
Per ulteriori approfondimenti sul teorema di Pitagora vedi anche qua.
Problema 4
Considera un triangolo ABC. Calcola l'ampiezza dell'angolo in B, sapendo che l'angolo in A misura 28 gradi e che l'angolo in C misura il triplo dell'angolo in A.
Dai dati, ci è noto che l'angolo in A misura 28 gradi e che l'angolo in C è il triplo dell'angolo in A. Allora è molto semplice calcolare l'ampiezza dell'angolo in C: basta moltiplicare per tre l'ampiezza dell'angolo in A.
Avremo così:
Scopriamo così che l'angolo in C misura 84 gradi. Resta da trovare l'ampiezza dell'angolo in A. Per trovarla, dobbiamo ricordare che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180 gradi. Visto che ci sono note le ampiezze degli angoli in A e in C, ci basta sottrarre a 180 gradi la somma delle ampiezze degli angoli noti:
L'ampiezza dell'angolo in B risulta essere quindi pari a 68 gradi.
Problema 5
Un triangolo ha un lato di 12 cm e gli altri due lati che sono rispettivamente i 7/3 e i 5/2 del primo. Calcola il perimetro e l'area di questo triangolo.Iniziamo dal calcolo del perimetro 2p del triangolo. Come è noto, per trovare la misura del perimetro occorre conoscere e sommare tra loro le misure dei tre lati. Dai dati conosciamo la lunghezza di un solo lato, però conosciamo anche il rapporto tra gli altri due lati ed il primo.
Per trovare la lunghezza del secondo lato dobbiamo calcolare i 10/3 della lunghezza del primo. Dobbiamo cioè calcolare:
Per calcolare, invece, la misura del terzo lato, dobbiamo calcolare i 5/4 del primo. Si avrà che:
A questo punto, calcolare il perimetro è un gioco da ragazzi, perché basta sommare tra loro le misure dei tre lati:
Per calcolare l'area, invece, non puoi utilizzare la formula classica, cioè base per altezza diviso due, perché conosci le misure dei tre lati ma non conosci la misura di nessuna delle altezze.
In questo caso, per calcolare la misura dell'area, puoi utilizzare la formula di Erone. La formula di Erone stabilisce che l'area di un triangolo è pari alla radice quadrata del prodotto tra quattro fattori:
- il semiperimetro;
- il semiperimetro meno il primo lato;
- il semiperimetro meno il secondo lato;
- il semiperimetro meno il terzo lato.
Se chiamiamo p il semiperimetro e a, b, c i tre lati, la formula di Erone dice che l'area di un triangolo è:
Inserendo i dati del nostro triangolo, e ricordando che il semiperimetro è la meta del perimetro, per cui è pari a 35 cm, abbiamo:
Abbiamo così ottenuto l'area del triangolo e risposto anche alla seconda richiesta del problema.
Per ulteriori approfondimenti sulla formula di Erone, vedi anche qua
