[math]\sqrt{3 + \sqrt5} [/math]
Svolgimento
Un radicale doppio può essere trasformato nella somma di due radicali semplici applicando la seguente formula, nel caso in cui vi sia il segno + fra i due termini:
[math]\sqrt{a + \sqrt b} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} [/math]
Prima di tutto, verifichiamo che
[math]a^2 - b [/math]
sia maggiore o uguale a zero, e che sia un quadrato perfetto:
[math] 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4[/math]
Procediamo:
[math]\sqrt{3 + \sqrt 5} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3^2 - 5}}{2}} + \sqrt{\frac{3 - \sqrt{3^2 - 5}}{2}} = [/math]
[math]\sqrt{\frac{3 + \sqrt{4}}{2}} + \sqrt{\frac{3 - \sqrt{4}}{2}} = [/math]
[math]\sqrt{\frac{3 + 2}{2}} + \sqrt{\frac{3 - 2}{2}} = [/math]
[math] \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} [/math]
Possiamo razionalizzare, moltiplicando numeratore e denominatore per
[math] \sqrt2[/math]
:
[math] \sqrt{\frac{5}{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =[/math]
[math]\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = [/math]
[math] \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{\sqrt{2}^2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}^2} = [/math]
[math] \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} [/math]
