Si trovino gli eventuali asintoti della funzione
[math]f(x)=(lnx -1)/(lnx +1)[/math]
Per quanto riguarda gli asintoti obliqui, non ce ne sono. Infatti, se esistessero, avrebbero equazione
[math]y=mx+q[/math]
con
[math]m=lim_(x->+infty)1/x \cdot (lnx-1)/(lnx+1)=lim_(x->+infty)1/x \cdot lim_(x->+infty)(lnx-1)/(lnx+1)=1 \cdot lim_(x->+infty)1/x[/math]
=
[math]1 \cdot 0=0[/math]
Cerchiamo eventuali asintoti orizzontali e verticali
I punti di accumulazione sono
[math]\infty[/math]
, [math]0[/math]
e [math]e^{-1}[/math]
, infatti per questo valore attribuito all'ascissa il denominatore assume valore nullo.
Iniziamo con
[math]lim_{x \to + \infty} (lnx -1)/(lnx +1) =lim_{x \to + \infty} (1/x)/(1/x) =1[/math]
usando la regola di De L'Hopital - Bernoulli.
Tuttavia potevamo anche procedere semplicemente notando che i valori
[math]-1[/math]
e [math]1[/math]
perdono di significato vicino all'infinito del logaritmo, quindi avremmo avuto
[math]lim_{x \to + \infty} (lnx -1)/(lnx +1)=lim_{x \to + \infty} lnx/lnx=1[/math]
Ecco un asintoto orizzontale,
[math]y=1[/math]
per [math]x \to + \infty[/math]
.
Ora passiamo a
[math]lim_{x \to e^{-1}} (lnx -1)/(lnx +1) = lim_{x \to e^{-1}} -2/(lnx +1) = [/math]
[math]= + \infty[/math]
se x tende a [math]e^{-1}[/math]
da sinistra
[math]= - \infty[/math]
se x tende a [math]e^{-1}[/math]
da destra (è quel -2 a numeratore a determinare il segno). Questo è un asintoto verticale.
Infine
[math]lim_{x \to 0^+} (lnx -1)/(lnx +1) =[/math]
(usando De L'Hopital - Bernoulli) [math]lim_{x \to 0^+} (1/x)/(1/x) =1[/math]
In questo caso però non si tratta di asintoto orizzontale, in
[math]x=0[/math]
la funzione non è definita, però tende ad assumere il valore [math]f(x)=1[/math]
.
