Si trovi il dominio della seguente funzione
[math]f(x)=\\log_(1/3)(ln(ln^2x-\sqrt{5}lnx))[/math]
Questa è un'applicazione dei sistemi di disequazioni. Per trovare il dominio della funzione dobbiamo infatti risolvere un sistema di qualche disequazione.
E' fondamentale ricordare che la funzione logaritmo è definita se l'argomento è strettamente positivo.
[math]\begin{cases} x>0 \\ ln^2x-\sqrt{5}lnx>0 \\ ln(ln^2x-\sqrt{5}lnx)>0 \ \end{cases}[/math]
Consideriamo la seconda disequazione
[math]ln^2x-\sqrt{5}lnx>0[/math]
diventa
[math]lnx(lnx-\sqrt{5})>0[/math]
Prendiamo i valori esterni alle radici, e otteniamo
[math]lnx<0[/math]
[math]U[/math]
[math]lnx>\sqrt{5}[/math]
Togliendo i logaritmi
[math]0<x<1[/math]
[math]U[/math]
[math]x>e^{\sqrt{5}}[/math]
Poi trattiamo la terza disequazione
[math]ln(ln^2x-\sqrt{5}lnx)>0[/math]
Affinchè un logaritmo sia maggiore di zero, il suo argomento deve essere maggiore di
[math]1[/math]
. in questo caso l'argomento è
[math]ln^2x-\sqrt{5}lnx>1[/math]
[math]ln^2x-\sqrt{5}lnx-1>0[/math]
Risolvendo l'equazione associata rispetto a
[math]lnx[/math]
e prendendo i valori esterni, si giunge a
[math]lnx>(3+\sqrt{5})/2[/math]
[math]U[/math]
[math]lnx<(\sqrt{5}-3)/2[/math]
e togliendo i logaritmi
[math]x>e^{(3+\sqrt{5})/2}[/math]
[math]U[/math]
[math]0<x<e^{(\sqrt{5}-3)/2}[/math]
Intersecando le soluzioni ottenute da ciascuna disequazione, ottieniamo:
Dominio:
[math]0<x<e^{(\sqrt{5}-3)/2}[/math]
U [math]x>e^{(3+\sqrt{5})/2}[/math]
