Studiare la seguente funzione, determinandone il dominio, i punti di intersezione con gli assi, eventuali punti di massimo e minimo, e punti di flesso; verificare la presenza di asintoti, e tracciare il grafico approssimativo. $ f(x) = x^2 – 3 x^(2/3) $

Nel caso di funzioni esponenziali, sappiamo che il dominio corrisponde a tutto l’insieme dei numeri reali, quindi:

$ D = R $.

Determiniamo ora i punti di intersezione con gli assi:

$ f(x) _|_ (x = 0) $

$ f(0) = 0^2 – 3 * 0^(2/3) = 0 $

Il punto individuato è $ (0 ; 0) $.

$ f(x) _|_ (y = 0)$

$ f(x) = 0 to x^2 – 3 x^(2/3) = 0 $

$ x^2 = 3 \root[3]{x^2} $

$ x^6 = 27 x^2 to x^2 (x^4 – 27) = 0 $

$ x = +- \root[4]{27} , x = 0 $

I punti individuati sono $ ( \root[4]{27} ; 0 ) $ e $ ( – \root[4]{27} ; 0 ) $.

Quindi la funzione passa per l’origine e ha due punti di intersezione con l’asse x.

Notiamo che $ f(x) = f(-x)$, quindi la funzione è pari, ovvero simmetrica rispetto all’asse y.

Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, in questo caso, a $+oo$ e $-oo$:

$ lim_(x to oo) x^2 – 3 x^(2/3) $

Il limite può essere risolto immediatamente: le incognite presenti, infatti, sono di gradi diverso, e nella determinazione del limite si tiene conto di quella di grado più alto; abbiamo, quindi:

$ lim_(x to +oo) x^2 – 3 x^(2/3) = lim_(x to -oo) x^2 – 3 x^(2/3) = + oo $

La funzione, quindi, non presenta asintoti né orizzontali né verticali.

Cerchiamo ora eventuali punti di massimo o minimo; calcoliamo la derivata prima della funzione:

$ f’(x) = 2x – 3*2/3 x^(-1/3) = 2x – frac(2)(x^(1/3)) = 2frac(x^(2/3) – 1)(x^(1/3)) $

Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:

$ f’(x) = 0 to 2frac(x^(2/3) – 1)(x^(1/3)) = 0 to x^(2/3) = 1 to x = pm 1 $

Studiamo il segno della derivata prima:

$ f’(x) > 0 to 2frac(x^(2/3) – 1)(x^(1/3)) > 0 $

$ N > 0 to x^(2/3) – 1 > 0 to x^2 > 1 to -1 < x < 1$

$ D > 0 to x^(1/3) > 0 to x > 0 $

Dallo studio del segno si ottiene: $ (-1 , 0) uu ( 1 , +oo) $; la funzione, quindi, è crescente in tale intervallo; poiché la funzione è pari, possiamo assumere che essa sia decrescente negli intervalli “speculari”: $ (-oo , -1) uu ( 0 , 1) $.
Notiamo, quindi, che i punti in cui $ x = -1$ e $ x = 1$ sono punti di minimo per la funzione.

Poiché la funzione non presenta asintoti orizzontali, cerchiamo la eventuale presenza di asintoti obliqui:

$ lim_(x to 0) frac(f(x) )(x) = frac(x^2 – 2 x^(2/3))(x) = oo $

Essendo tale limite infinito, la funzione non presenta asintoti obliqui.

Passiamo allo studio della derivata seconda:

$ f’’(x) = 2 * frac(2/3 x^(-1/3) * x^(1/3) – (x^(2/3) – 1) * 1/3 x^(-2/3) )(x^(2/3)) = $

$ 2 * frac(2/3 – 1/3 + 1/3 x^(-2/3) )(x^(2/3)) = $

$ 2/3 frac(1 + x^(-2/3) )(x^(2/3)) $

Troviamo i punti in cui la deriva seconda si annulla:

$ f’’(x) = 0 to 2/3 frac(1 + x^(-2/3) )(x^(2/3)) = 0 to 1 + x^(-2/3) = 0 $

La quantità al numeratore è sempre positiva, quindi la derivata seconda non si annulla mai; ciò significa che , essendo positiva la derivata seconda, la funzione presenta una concavità verso l’alto su tutto $R$.

Possiamo quindi procedere rappresentando il grafico della funzione:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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