Studiare la seguente funzione, determinandone il dominio, i punti di intersezione con gli assi, eventuali punti di massimo e minimo, e punti di flesso; verificare la presenza di asintoti, e tracciare il grafico approssimativo. $ f(x) = arctan( log( frac(x)( (x+3) * |x+4| ) ) ) $

La funzione arcotangente è definita su tutto R, quindi le uniche condizioni che dobbiamo imporre riguardano l’argomento del logaritmo. Poniamo, quindi, tale argomento maggiore di zero:

$frac(x)( (x+3) * |x+4| ) > 0$

$x > 0$

$x+3 > 0$

$|x+4|>0$

Dallo studio del segno si ottengono i seguenti intervalli: $ x<-3 vee x > 0 , x != -4$

Quindi abbiamo:

$ D = (-oo ; -4) uu (-4 ; -3) uu (0 ; +oo) $.

Per semplicità, nello svolgimento dei prossimi calcoli è conveniente eliminare il valore assoluto, e per farlo ricordiamo la proprietà dei valori assoluti per cui:

$ |x| = x text( se ) x >= 0$

$ |x| = -x text( se ) x < 0$

In questo caso, quindi, possiamo assumere:

$ f(x) = arctan( log( frac(x)( (x+3) * (x+4) ) ) ) text(se) x > -4 $

$ f(x) = arctan( log( frac(x)( (x+3) * (-x-4) ) ) ) text(se) x < -4 $

Determiniamo ora i punti di intersezione con gli assi: $ f(x) _|_ (y = 0)$

Se $x > -4$:

$arctan( log( frac(x)( (x+3) * (x+4) ) ) ) = 0 to log( frac(x)( (x+3) * (x+4) ) ) = 0$

$ frac(x)( (x+3) * (x+4) ) = 1 to frac(x – x^2 – 3x – 4x – 12)( (x+3) * (x+4) ) = 0$

$ x^2 + 6x + 12 = 0$

L’equazione è priva di soluzioni reali (delta negativo), quindi la funzione non ha punti di intersezione con l’asse x per $ x > -4$.

Se $x < -4$:

$arctan( log( frac(x)( (x+3) * (-x-4) ) ) ) = 0 to log( frac(x)( (x+3) * (-x-4) ) ) = 0$

$ frac(x)( (x+3) * (-x-4) ) = 1 to frac(x + x^2 + 3x + 4x + 12)( (x+3) * (-x-4) ) = 0$

$ x^2 + 8x + 12 = 0 to x = -6 vee x = -2$

Possiamo accettare come soluzione solo $ x = -6$; di conseguenza, il punto di intersezione è $ ( -6 ; 0 ) $.

Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:

$ f(-x) = arctan( log( frac(-x)( (-x+3) * |-x+4| ) ) ) $

La funzione quindi non è ne pari ne dispari.

Determiniamo gli intervalli in cui la funzione è positiva; per $x > -4$ si ha:

$ arctan( log( frac(x)( (x+3) * (x+4) ) ) ) > 0      to      log( frac(x)( (x+3) * (x+4) ) ) > 0$

$ frac(x)( (x+3) * (x+4) ) > 1       to     frac(x-x^2 – 7x – 12)( (x+3) * (x+4) ) > 0      to   $

$  frac( -x^2 – 6x – 12)( (x+3) * (x+4) ) > 0 $

Tale disequazione è verificata per valori di x nell’intervallo $(-4;-3)$; la funzione, quindi, è positiva in tale intervallo.

Vediamo ora il caso $x < -4$ si ha:

$ arctan( log( frac(x)( (x+3) * (-x-4) ) ) ) > 0      to      log( frac(x)( (x+3) * (-x-4) ) ) > 0$

$ frac(x)( (x+3) * (-x-4) ) > 1       to     frac(x)( (x+3) * (x+4) ) < -1      to   $

$  frac(x+x^2 + 7x + 12)( (x+3) * (x+4) ) < 0     to     frac(x^2 + 8x + 12)( (x+3) * (x+4) ) < 0 $

Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, cominciamo dal limite a $+oo$:

$ lim_(x to +oo) arctan( log( frac(x)( (x+3) * |x+4| ) ) ) = lim_(x to +oo) arctan( log( frac(x)( (x+3) * (x+4) ) ) ) = – π/2$

Passiamo ora al limite a $-oo$ :

$ lim_(x to +oo) arctan( log( frac(x)( (x+3) * |x+4| ) ) ) = lim_(x to +oo) arctan( log( frac(x)( (x+3) * (-x-4) ) ) ) = – π/2$

Quindi, la retta di equazione $ y = – π/2$ è asintoto orizzontale (destro e sinistro) per la funzione.

Studiamo ora il comportamento della funzione quando si avvicina ai punti che sono esclusi dal dominio; cominciamo con il caso $ x to 3^-$:

$ lim_(x to -3^-) arctan( log( frac(x)( (x+3) * |x+4| ) ) ) = lim_(x to -3^-) arctan( log( frac(x)( (x+3) * (x+4) ) ) ) = π/2$

Allo stesso modo, per $x to 0^+$:

$ lim_(x to 0^+) arctan( log( frac(x)( (x+3) * |x+4| ) ) ) = lim_(x to 0^+) arctan( log( frac(x)( (x+3) * (x+4) ) ) ) = -π/2$

Infine, per $ x to -4$ si ha:

$ lim_(x to -4^+) arctan( log( frac(x)( (x+3) * |x+4| ) ) ) = lim_(x to -4^+) arctan( log( frac(x)( (x+3) * (x+4) ) ) ) = π/2$

$ lim_(x to -4^-) arctan( log( frac(x)( (x+3) * |x+4| ) ) ) = lim_(x to -4^-) arctan( log( frac(x)( (x+3)*(-x-4) ) ) ) = π/2$

La funzione, quindi, non presenta asintoti verticali.

Cerchiamo eventuali punti di massimo o minimo studiando la derivata prima:

$ f’(x) = frac( frac(x^2 + 7x + 12 – 2x^2 – 7x)((x^2 + 7x + 12)^2) )( 1 + log^2(frac(x)(x^2 + 7x + 12)) ) * frac(x^2 + 7x + 12)(x) = $

$ frac(1)( 1 + log^2(frac(x)(x^2 + 7x + 12)) ) * frac(12 – x^2)( x^3 + 7x^2 + 12x) $

Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:

$ f’(x) = 0 to frac(1)( 1 + log^2(frac(x)(x^2 + 7x + 12)) ) * frac(12 – x^2)( x^3 + 7x^2 + 12x) = 0 $

$ 12 – x^2 = 0 to x^2 = 12 to x = pm sqrt(12) $

Studiamo il segno della derivata prima:

$ f’(x) > 0 to frac(1)( 1 + log^2(frac(x)(x^2 + 7x + 12)) ) * frac(12 – x^2)( x^3 + 7x^2 + 12x) > 0 $

$ 1 + log^2(frac(x)(x^2 + 7x + 12)) > 0 $

$ 12 – x^2 > 0 $

$ x^3 + 7x^2 + 12x > 0 $

Dallo studio del segno si ottengono i seguenti intervalli: $ ( – oo , – 4 ) U ( -sqrt(12) ; -3) U ( 0 ; sqrt(12) ) $; la funzione, quindi, è crescente in tali intervalli.

Notiamo, quindi, che il punto individuato da $ x = – sqrt(12) $ è un punto di minimo relativo per la funzione, mentre il punto individuato da $ x = sqrt(12) $ è un punto di massimo relativo per la funzione.

In questo caso, il calcolo della derivata seconda si rivela troppo complesso; possiamo comunque tracciare il grafico approssimativo della funzione.

Nell’intervallo $ (-oo ; -3) $ si avrà un grafico di questo tipo:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mentre nell’intervallo $ (0 ; +oo) $ si avrà:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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