Dallo studio del segno si ottengono i seguenti intervalli:
Quindi abbiamo:
Per semplicità, nello svolgimento dei prossimi calcoli è conveniente eliminare il valore assoluto, e per farlo ricordiamo la proprietà dei valori assoluti per cui:
In questo caso, quindi, possiamo assumere:
Determiniamo ora i punti di intersezione con gli assi:
Se
L'equazione è priva di soluzioni reali (delta negativo), quindi la funzione non ha punti di intersezione con l'asse x per
Se
Possiamo accettare come soluzione solo
Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:
La funzione quindi non è ne pari ne dispari.
Determiniamo gli intervalli in cui la funzione è positiva; per
Tale disequazione è verificata per valori di x nell'intervallo
Vediamo ora il caso
Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, cominciamo dal limite a
Passiamo ora al limite a
Quindi, la retta di equazione
Studiamo ora il comportamento della funzione quando si avvicina ai punti che sono esclusi dal dominio; cominciamo con il caso
Allo stesso modo, per
Infine, per
La funzione, quindi, non presenta asintoti verticali.
Cerchiamo eventuali punti di massimo o minimo studiando la derivata prima:
Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:
Studiamo il segno della derivata prima:
Dallo studio del segno si ottengono i seguenti intervalli:
Notiamo, quindi, che il punto individuato da
In questo caso, il calcolo della derivata seconda si rivela troppo complesso; possiamo comunque tracciare il grafico approssimativo della funzione.
Nell'intervallo
Mentre nell'intervallo
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