Posizione e sistema di riferimento
La posizione di un punto è sempre relativa al sistema di riferimento scelto.Per specificare la posizione di una cabina lungo il cavo di una funivia è sufficiente stabilire un punto di riferimento e un verso per la funivia è vincolata al cavo. Lo spazio in cui essa si muove può essere rappresentato con una retta orientata. La cabina è un oggetto piccolo rispetto alla distanze di cui si sposta, e quindi può essere considerata un punto materiale. Per localizzare la posizione di una pedina sulla scacchiera servono invece due assi cartesiani
Per un oggetto che si muove nello spazio tridimensionale, ad esempio una farfalla in volo, serve una terna di assi cartesiani
Nello spazio oltre al sistema di coordinate cartesiane è possibile utilizzare le coordinate sferiche, in analisi matematica questo tipo di coordinate aiutano a semplificare il calcolo di alcuni tipi di integrali e anche lo studio di funzioni in tre variabili soprattutto con simmetria radiale.
Per ulteriori approfondimenti sui sistemi di riferimento vedi qua
Coordinate sferiche nello spazio
Le coordinate cartesiane per identificare un punto P nello spazio sono l'ascissa x, l’ordinata y e la quota z, si scrive infatti:
Le coordinate sferiche sono sempre tre e sono indicate con lettere dell'alfabeto greco. Una coordinata esprime una misura di lunghezza nella unità prefissata, le altre due sono misure angolari:
- [math]\rho[/math]
- [math]\theta[/math]
- [math]\phi[/math]
- [math]\rho[/math]=OP: è una lunghezza, misura della distanza del punto P dall’origine O;
- [math]\theta[/math]: è l’angolo formato tra la congiungente OP e l’asse z, detto anche colatitudine o angolo polare
- [math]\phi[/math]: è l’angolo formato tra l'asse x e la proiezione del segmento OP sul piano xy
Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni seno e coseno vedi qua
Come passare dalle coordinate sferiche alle coordinate cartesiane
Il cambio di coordinate avviene mediante le equazioni riportate di seguito, utilizzando le relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli come ci insegna la trigonometria, in particolare in funzione di seno e coseno.Vediamo dunque come passare dalle coordinate sferiche
- La componente x del punto P è data dal prodotto della proiezione di OP sul piano xy per il coseno dell’angolo [math]\phi[/math]
- La componente y del punto P è data dal prodotto della proiezione di OP sul piano xy moltiplicata per il seno dell’angolo [math]\phi[/math]
- La componente z del punto P è data dal prodotto della lunghezza di OP per il coseno di [math]\theta[/math]
- La proiezione di OP sul piano xy è in funzione dell’angolo theta
Con le seguenti condizioni sui valori possibili:
Invece per passare dalle coordinate cartesiane
Coordinate cilindriche
Le coordinate cilindriche sono un ulteriore sistema di coordinate nello spazio, la posizione di un punto P è determinate sempre da tre parametri, due misure di lunghezza e una misura angolare:
Detta
- Il parametro [math]z[/math]indica la lunghezza di[math]PQ[/math], ovvero la quota del punto P.
- Il parametro [math]\rho[/math]indica la lunghezza di[math]OQ[/math], la distanza tra l’origine e la proiezione del punto P sul piano xy.
- Il parametro [math]\theta[/math]indica l'angolo fra il semiasse positivo delle[math]x[/math]e[math]OQ[/math].
- la funzione da integrare dipende dalla somma dei quadrati di x ed y, cioè da:[math]x^2+y^2[/math]
- il dominio di integrazione è un cilindro, oppure una parte di esso
Sempre utilizzando le relazioni trigonometriche tra i lati e li angoli di un triangolo, andiamo a scrivere le equazioni della trasformazione per esprimere le coordinate cartesiane (x,y,z) in funzione di quelle cilindriche:
Con le seguenti condizioni sui valori possibili:
Queste coordinate possono essere viste anche come coordinate polari piane. Inoltre l’asse di simmetria coincide con l’asse zeta. In caso di necessità è possibile traslare l’asse e quindi considerare un sistema di coordinate cilindriche con asse di simmetria traslato e parallelo all’asse z. Detto r questo asse, è comunque una retta dello spazio e la sua equazione possiamo scriverla in forma cartesiana:
Applicando la traslazione alle coordinate cilindriche abbiamo:
Equazioni delle coordinate cilindriche in funzione delle coordinate cartesiane
Delle tre coordinate la quota resta invariata, perciò è sempreLa coordinata
Il valore di
con:
Per risalire al valore di
Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni arcoseno e arcocoseno vedi qua
Quando utilizzare le coordinate cilindriche
Nella risoluzione degli integrali tripli risulta comodo utilizzare questo sistema di coordinate, la presenza della sommaUsiamo queste coordinate se:
Supponiamo di avere un insieme così definito:
L’insieme dei punti dello spazio appartenenti ad A, definiscono un cilindro di raggio unitario ed altezza pari a 2.
Infatti la quota compresa tra -1 ed 1 ci fa capire che il nostro cilindro ha altezza pari a 2.
Usiamo le equazioni:
elevando al quadrate le prime due:
otteniamo:
per la prima relazione fondamentale della goniometria:
che per
L’angolo
A questo punto riscriviamo l’insieme A con le coordinate cilindriche: