Coordinate sferiche e cilindriche nello spazio

Coordinate sferiche

Le coordinate sferiche sono un sistema di coordinate nello spazio determinate da tre parametri, $
ho$, $phi$, $ heta$. Detta $O$ l’origine del sistema, e detto $P$ un generico punto nello spazio, il parametro $
ho$ indica la distanza fra $P$ e $O$, $ heta$ è l’angolo fra $PO$ e l’asse $z$, mentre $phi$ è l’angolo fra l’asse $x$ e la proiezione di $PO$ sul piano $xy$.
 
coordinate_sferiche.gif
Si può passare dalle coordinate sferiche $(
ho, phi, heta)$ alle coordinate cartesiane $(x, y, z)$ mediante queste relazioni
 
${(x =
ho sin( heta) cos(phi)),(y =
ho sin( heta) sin(phi)),(z =
ho cos( heta)):} qquad
ho in [0, +infty) quad heta in [0, pi] quad phi in [0, 2 pi)$
 
Invece per passare dalle coordinate cartesiane $(x, y, z)$ alle coordinate sferiche $(
ho, phi, heta)$ si possono sfruttare le relazioni
 
${(
ho = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}),(phi = "arctg"(frac{y}{x})),( heta = "arccos"(frac{z}{sqrt{x^2 + y^2 + z^2}})):}$

Coordinate cilindriche

Le coordinate cilindriche sono un sistema di coordinate nello spazio determinate da tre parametri, $
ho$, $ heta$, $t$. Detta $O$ l’origine del sistema, e detto $P$ un generico punto nello spazio, e detto $Q$ la sua proiezione sul piano $xy$, il parametro $t$ indica la lunghezza di $PQ$, $
ho$ indica la lunghezza di $OQ$ mentre $ heta$ indica l’angolo fra l’asse $x$ e $OQ$.

coordinate_cilindriche.gif
Si può passare dalle coordinate cilindriche $(
ho, heta, t)$ alle coordinate cartesiane $(x, y, z)$ mediante queste relazioni
 
${(x =
ho cos( heta)),(y =
ho sin( heta)),(z = t):} qquad
ho in [0, +infty) quad heta in [0, 2 pi) quad t in mathbb{R}$
 
Invece per passare dalle coordinate cartesiane $(x, y, z)$ alle coordinate cilindriche $(
ho, heta, t)$ si possono sfruttare le seguenti relazioni
 
${(
ho = sqrt{x^2 + y^2}),( heta = "arctg"(frac{y}{x})),(t = z):}$
 

Commenti

commenti

Ci sono 7 commenti su questo articolo:

  1. Perche tetha nelle coordinate sferiche non varia tra 0 e 2pigreco ma varia tra 0 e pigreco?

  2. @Tiziano, qui non stiamo facendo integrali multipli, ma solo cambi di coordinate. Poi per passare da un integrale multiplo in coordinate cartesiane ad uno in coordinate sferiche servirà il determinante jacobiano, ma non è questo il caso.