Equazioni di secondo grado

Un’equazione di secondo grado (i coefficienti si intendono reali) può presentarsi sotto tre forme: pura, spuria, completa. In tutti e tre i casi il coefficiente di grado massimo, indicato con $a$, deve essere diverso da zero. Le soluzioni dell’equazione si chiamano radici.

Equazione pura: un’equazione pura di secondo grado è della forma $a x^2 + c = 0$.

1° caso: se $a$ e $c$ sono concordi l’equazione ha due soluzioni complesse coniugate, che valgono $x_1 = – i \sqrt{\frac{c}{a}}$, $x_2 = i \sqrt{\frac{c}{a}}$

Es: $x^2+4=0\Rightarrow x_{1,2}=\pm2i$

2° caso: se $c = 0$ l’equazione ha due soluzioni coincidenti, entrambre nulle, $x_1 = x_2 = 0$

3° caso: se $a$ e $c$ sono discordi l’equazione ha due soluzioni reali distinte, che valgono $x_1 = – \sqrt{-\frac{c}{a}}$ e $x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}}$

Es: $4x^2-9=0\Rightarrow x^2=9/4\Rightarrow x_{1,2}=\pm 3/2$

Equazione spuria: un’equazione spuria di secondo grado è della forma $a x^2 + bx = 0$.

Raccogliendo $x$ l’equazione si scrive come $x (ax + b) = 0$, e da qui si nota che le due soluzioni (reali) sono $x_1 = 0$ e $x_2 = – \frac{b}{a}$.

Es: $3x^2-5x=0\Rightarrow x(3x-5)=0\Rightarrow x_1=0;x=5/3$

Equazione completa: un’equazione completa di secondo grado si scrive come $a x^2 + bx + c = 0$. La formula risolutiva è

$x_{1,2} = \frac{- b \pm sqrt{b^2 – 4 ac}}{2a}$

Per la risoluzione è possibile utilizzare anche la formula ridotta, equivalente alla precedente:

$x_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} – ac}}{a}$

La quantità $\Delta = b^2 – 4 ac$ si chiama discriminante, e a seconda del segno che assume si distinguono tre casi.

1° caso: se $\Delta > 0$ l’equazione ha due soluzioni reali distinte, che valgono $x_1 = \frac{- b – \sqrt{b^2 – 4 ac}}{2a}$ e $x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 – 4 a c}}{2a}$

2° caso: se $\Delta = 0$ l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti, che valgono $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

3° caso: se $\Delta < 0$ l’equazione ha due soluzioni complesse coniugate, che valgono $x_1 = \frac{-b – i \sqrt{4 a c – b^2}}{2a}$ e $x_2 = \frac{-b + i \sqrt{4 a c – b^2}}{2a}$

Relazioni fra i coefficienti di un’equazione e le radici

Data un’equazione di secondo grado $a x^2 + b x + c = 0$, che ha come soluzioni $x_1$ e $x_2$, fra le radici e i coefficienti $a, b, c$ sussistono le seguenti relazioni:

Somma delle radici: $x_1 + x_2 = – \frac{b}{a}$

Differenza delle radici: $x_1 – x_2 = \frac{\sqrt{b^2 – 4 a c}}{2a}$

Prodotto delle radici: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Somma dei reciproci delle radici: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = – \frac{b}{c}$

Somma dei quadati delle radici: $x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2 – 2 ac}{a^2}$

Somma dei reciproci dei quadrati delle radici: $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{b^2 – 2 a c}{c^2}$

Somma dei cubi delle radici: $x_1^3 + x_2^3 = \frac{3abc – b^3}{a^3}$

Somma dei reciproci dei cubi delle radici: $\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \frac{3 a b c – b^3}{c^3}$

Da queste relazioni discendono le seguenti proprietà:

– Le radici sono opposte se e solo se $b=0$
– Le radici sono reciproche se e solo se $a = c$
– Le radici sono antireciproche se e solo se $a = -c$
– Una radice è zero se e solo se $c = 0$
– Se $\Delta > 0$, allora le radici sono concordi se e solo se $\frac{c}{a} > 0$, e sono discordi se e solo se $\frac{c}{a} < 0$
– Una radice è $n$ volte l’altra se e solo se $[\frac{-b}{(n+1) a}]^2 = \frac{c}{an}$

Scomposizione di un trinomio di secondo grado 

Scomposizione di un trinomio di secondo grado 

Dato un trinomio $a x^2 + bx + c$, e dette $x_1, x_2$ le soluzioni dell’equazione $a x^2 + bx + c = 0$, risulta

$a x^2 + bx + c = a (x – x_1) (x – x_2)$

 

 

Commenti

commenti

Ci sono 10 commenti su questo articolo:

  1. x1-x2=-radice quadrata di b^2-4ac/a

    x2-x1=+radice quadrata di b^2-4ac/a

  2. Una spiegazione perfetta per il ripasso veloce di una mamma arrugginita come me (nonostante la laurea in matem presa tanti anni fa). Grazie

  3. c’è un errore… la differenza di radici è uguale alla radice quadrata di (b^2-4ac)/a e non fratto 2a cm scritto… bye

  4. io nn ci capisco niente e ho una proff che nn capisco le sue spiegazzioni …. mi sà che queste cose nn lle capirò mai . ciao a tutti

  5. Ciao notevole XD , questa spiegazione è spiegata molto molto bene davvero complimenti

  6. la spiegazione dei argomenti e molto chiara e facile da comprendere ;-) … grazie