Un'equazione di secondo grado (i coefficienti si intendono reali) può presentarsi sotto tre forme: pura, spuria, completa. In tutti e tre i casi il coefficiente di grado massimo, indicato con
[math]a[/math]
, deve essere diverso da zero. Le soluzioni dell'equazione si chiamano
radici.
Equazione pura: un'equazione pura di secondo grado è della forma
[math]a x^2 + c = 0[/math]
.
1° caso: se
[math]a[/math]
e
[math]c[/math]
sono concordi l'equazione ha due soluzioni complesse coniugate, che valgono
[math]x_1 = - i \sqrt{\frac{c}{a}}[/math]
,
[math]x_2 = i \sqrt{\frac{c}{a}}[/math]
</p><blockquote>
Es:
[math]x^2+4=0\\Rightarrow x_{1,2}=\\pm2i[/math]
</blockquote>
2° caso: se
[math]c = 0[/math]
l'equazione ha due soluzioni coincidenti, entrambre nulle,
[math]x_1 = x_2 = 0[/math]
3° caso: se
[math]a[/math]
e
[math]c[/math]
sono discordi l'equazione ha due soluzioni reali distinte, che valgono
[math]x_1 = - \sqrt{-\frac{c}{a}}[/math]
e
[math]x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}}[/math]
<blockquote>
Es:
[math]4x^2-9=0\\Rightarrow x^2=9/4\\Rightarrow x_{1,2}=\\pm 3/2[/math]
</blockquote>
Equazione spuria: un'equazione spuria di secondo grado è della forma
[math]a x^2 + bx = 0[/math]
.
Raccogliendo
[math]x[/math]
l'equazione si scrive come
[math]x (ax + b) = 0[/math]
, e da qui si nota che le due soluzioni (reali) sono
[math]x_1 = 0[/math]
e
[math]x_2 = - \frac{b}{a}[/math]
. <blockquote>
Es:
[math]3x^2-5x=0\\Rightarrow x(3x-5)=0\\Rightarrow x_1=0;x=5/3[/math]
</blockquote>
Equazione completa: un'equazione completa di secondo grado si scrive come
[math]a x^2 + bx + c = 0[/math]
. La formula risolutiva è
[math]x_{1,2} = \frac{- b \\pm \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a}[/math]
Per la risoluzione è possibile utilizzare anche la formula ridotta, equivalente alla precedente:
[math]x_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2} \\pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - ac}}{a}[/math]
La quantità
[math]\Delta = b^2 - 4 ac[/math]
si chiama
discriminante, e a seconda del segno che assume si distinguono tre casi.
1° caso: se
[math]\Delta > 0[/math]
l'equazione ha due soluzioni reali distinte, che valgono
[math]x_1 = \frac{- b - \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a}[/math]
e
[math]x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}[/math]
2° caso: se
[math]\Delta = 0[/math]
l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti, che valgono
[math]x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}[/math]
3° caso: se
[math]\Delta < 0[/math]
l'equazione ha due soluzioni complesse coniugate, che valgono
[math]x_1 = \frac{-b - i \sqrt{4 a c - b^2}}{2a}[/math]
e
[math]x_2 = \frac{-b + i \sqrt{4 a c - b^2}}{2a}[/math]
Relazioni fra i coefficienti di un'equazione e le radici
Data un'equazione di secondo grado
[math]a x^2 + b x + c = 0[/math]
, che ha come soluzioni
[math]x_1[/math]
e
[math]x_2[/math]
, fra le radici e i coefficienti
[math]a, b, c[/math]
sussistono le seguenti relazioni:
Somma delle radici:
[math]x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}[/math]
Differenza delle radici:
[math]x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}[/math]
Prodotto delle radici:
[math]x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}[/math]
Somma dei reciproci delle radici:
[math]\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = - \frac{b}{c}[/math]
Somma dei quadati delle radici:
[math]x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2 - 2 ac}{a^2}[/math]
Somma dei reciproci dei quadrati delle radici:
[math]\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{b^2 - 2 a c}{c^2}[/math]
Somma dei cubi delle radici:
[math]x_1^3 + x_2^3 = \frac{3abc - b^3}{a^3}[/math]
Somma dei reciproci dei cubi delle radici:
[math]\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \frac{3 a b c - b^3}{c^3}[/math]
Da queste relazioni discendono le seguenti proprietà :
- Le radici sono opposte se e solo se
[math]b=0[/math]
- Le radici sono reciproche se e solo se
[math]a = c[/math]
- Le radici sono antireciproche se e solo se
[math]a = -c[/math]
- Una radice è zero se e solo se
[math]c = 0[/math]
- Se
[math]\Delta > 0[/math]
, allora le radici sono concordi se e solo se
[math]\frac{c}{a} > 0[/math]
, e sono discordi se e solo se
[math]\frac{c}{a} < 0[/math]
- Una radice è
[math]n[/math]
volte l'altra se e solo se
[math][\frac{-b}{(n+1) a}]^2 = \frac{c}{an}[/math]
Scomposizione di un trinomio di secondo grado
Scomposizione di un trinomio di secondo grado
Dato un trinomio
[math]a x^2 + bx + c[/math]
, e dette
[math]x_1, x_2[/math]
le soluzioni dell'equazione
[math]a x^2 + bx + c = 0[/math]
, risulta
[math]a x^2 + bx + c = a (x - x_1) (x - x_2)[/math]
