Funzioni goniometriche

Si consideri una circonferenza di raggio $R$ centrata in $O = (0,0)$, e sia $P$ un generico punto sulla circonferenza.
circonferenza_goniometrica.png
Comunque si fissi $x in mathbb{R}$, si scelga $P$ in modo che la misura (in radianti) dell’angolo $P hat{O} A$ sia proprio $x$. Dette $P = (x_0, y_0)$ le coordinate del punto $P$, si definiscono le funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante) come segue
 
$sin(x) = frac{y_0}{R} qquad cos(x) = frac{x_0}{R} qquad "tg"(x) = frac{sin(x)}{cos(x)} qquad "cotg"(x) = frac{cos(x)}{sin(x)} qquad "sec"(x) = frac{1}{cos(x)} qquad "cosec"(x) = frac{1}{sin(x)}$
 

Relazione fondamentale della goniometria

 

$sin^2(x) + cos^2(x) = 1$  
 

Conversione fra radianti e gradi

Se $x$ è la misura in radianti di un angolo, e $x^{circ}$ è la rispettiva misura in gradi, si ha che

$x = frac{pi}{180^{circ}} x^{circ} qquad x^{circ} = frac{180^{circ}}{pi} x$

 

Archi notevoli

$x$ (radianti) $x^{circ}$ (gradi) $sin(x)$ $cos(x)$ $"tg"(x)$ $"cotg"(x)$
$0$ $0^{circ}$ $0$  $1$ $0$  non esiste
$frac{pi}{12}$  $15^{circ}$  $frac{sqrt{6} – sqrt{2}}{4}$ $frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$ $2 – sqrt{3}$ $2 + sqrt{3}$
$frac{pi}{10}$ $18^{circ}$ $frac{sqrt{5} – 1}{4}$ $frac{1}{4} sqrt{10 + 2 sqrt{5}}$ $sqrt{frac{5 – 2 sqrt{5}}{5}}$ $sqrt{5 + 2 sqrt{5}}$
 $frac{pi}{8}$ $22^{circ} 30’$ $frac{sqrt{2 – sqrt{2}}}{2}$ $frac{sqrt{2 + sqrt{2}}}{2}$ $sqrt{2} – 1$ $sqrt{2} + 1$
$frac{pi}{6}$ $30^{circ}$ $frac{1}{2}$ $frac{sqrt{3}}{2}$ $frac{sqrt{3}}{3}$ $sqrt{3}$
$frac{pi}{5}$ $36^{circ}$ $frac{1}{4} sqrt{10 – 2 sqrt{5}}$ $frac{sqrt{5} + 1}{4}$ $sqrt{5 – 2 sqrt{5}}$ $sqrt{frac{5 + 2 sqrt{5}}{5}}$
$frac{pi}{4}$ $45^{circ}$ $frac{sqrt{2}}{2}$ $frac{sqrt{2}}{2}$ $1$ $1$
$frac{3 pi}{10}$ $54^{circ}$ $frac{sqrt{5} + 1}{4}$ $frac{1}{4} sqrt{10 – 2 sqrt{5}}$ $sqrt{frac{5 + 2 sqrt{5}}{5}}$ $sqrt{5 – 2 sqrt{5}}$
$frac{pi}{3}$ $60^{circ}$ $frac{sqrt{3}}{2}$ $frac{1}{2}$ $sqrt{3}$ $frac{sqrt{3}}{3}$
 $frac{3 pi}{8}$ $67^{circ} 30’$  $frac{sqrt{2 + sqrt{2}}}{2}$ $frac{sqrt{2 – sqrt{2}}}{2}$ $sqrt{2} + 1$ $sqrt{2} – 1$
$frac{2 pi}{5}$ $72^{circ}$ $frac{1}{4} sqrt{10 + 2 sqrt{5}}$ $frac{sqrt{5} – 1}{4}$ $sqrt{5 + 2 sqrt{5}}$ $sqrt{frac{5 – 2 sqrt{5}}{5}}$
 $frac{5 pi}{12}$ $75^{circ}$ $frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$  $frac{sqrt{6} – sqrt{2}}{4}$  $2 + sqrt{3}$
$2 – sqrt{3}$
$frac{pi}{2}$ $90^{circ}$  $1$ $0$ non esiste $0$
 

Archi associati

Si possono ricavare i valori di seno, coseno, e delle altre funzioni goniometriche relativamente ad altri angoli notevoli mediante le formule seguenti

$cos(pi + x) = – cos(x)$ $sin(pi + x) = – sin(x)$  $"tg"(pi + x) = "tg"(x)$ 
$cos(pi – x) = – cos(x)$ $sin(pi – x) = sin(x)$  $"tg"(pi – x) = – "tg"(x)$ 
$cos(frac{pi}{2} + x) = – sin(x)$ $sin(frac{pi}{2} + x) = cos(x)$  $"tg"(frac{pi}{2} + x) = – "cotg"(x)$ 
$cos(frac{pi}{2} – x) = sin(x)$ $sin(frac{pi}{2} – x) = cos(x)$  $"tg"(frac{pi}{2} – x) = "cotg"(x)$ 
$cos(-x) = cos(x)$  $sin(-x) = – sin(x)$  $"tg"(-x) = – "tg"(x)$ 

Relazioni fra funzioni goniometriche di uno stesso arco

 

$cos^2(x) = frac{1}{1 + "tg"^2(x)} qquad sin^2(x) = frac{"tg"^2(x)}{1 + "tg"^2(x)}$
 

Formule di addizione e di sottrazione 

 

$cos(x – y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y)$
 
$cos(x + y) = cos(x) cos(y) – sin(x) sin(y)$
 
$sin(x – y) = sin(X) cos(y) – sin(y) cos(x)$
 
$sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$
 
$"tg"(x + y) = frac{"tg"(x) + "tg"(y)}{1 – "tg"(x) "tg"(y)}$
 
$"tg"(x – y) = frac{"tg"(x) – "tg"(y)}{1 + "tg"(x) "tg"(y)}$
 
$"cotg"(x + y) = frac{"cotg"(x) "cotg"(y) – 1}{"cotg"(x) + "cotg"(y)}$
 
$"cotg"(x – y) = frac{"cotg"(x) "cotg"(y) + 1}{"cotg"(y) – "cotg"(x)}$
 

Formule di duplicazione

 

$sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) qquad cos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x) = 2 cos^2(x) – 1 = 1 – 2 sin^2(x)$
 
$"tg"(2x) = frac{2 "tg"(x)}{1 – "tg"^2(x)} qquad "cotg"(2x) = frac{"cotg"^2(x) – 1}{2 "cotg"(x)}$
 

Formule di triplicazione

 

$sin(3 x) = 3 sin(x) – 4 sin^3(x) qquad cos(3x) = 4 cos^3(x) – 3 cos(x) qquad "tg"(3x) = frac{3 "tg"(x) – "tg"^3(x)}{1 – 3 "tg"^2(x)}$
 

Formule di prostaferesi

 

$sin(p) + sin(q) = 2 sin(frac{p+q}{2}) cos(frac{p-q}{2})$
 
$sin(p) – sin(q) = 2 sin(frac{p-q}{2}) cos(frac{p+q}{2})$
 
$cos(p) + cos(q) = 2 cos(frac{p+q}{2}) cos(frac{p-q}{2})$
 
$cos(p) – cos(q) = -2 sin(frac{p+q}{2}) sin(frac{p-q}{2})$
 

Formule di Werner

 

$sin(x) cos(y) = frac{1}{2} [sin(x – y) + sin(x + y)]$
 
$sin(x) sin(y) = frac{1}{2} [cos(x – y) – cos(x + y)]$
 
$cos(x) cos(y) = frac{1}{2} [cos(x – y) + cos(x + y)]$ 
 

Formule di bisezione

 

$sin^2(x) = frac{1 – cos(2x)}{2} qquad cos^2(x) = frac{1 + cos(2x)}{2}$
 
$"tg"(x) = frac{1 – cos(2x)}{sin(2x)} = frac{sin(2x)}{1 + cos(2x)}$
 
$"cotg"(x) = frac{1 + cos(2x)}{sin(2x)} = frac{sin(2x)}{1 – cos(2x)}$
 

Formule parametriche

Formule parametriche 

 

$sin(x) = frac{2 "tg"(frac{x}{2})}{1 + "tg"^2(frac{x}{2})} qquad cos(x) = frac{1 – "tg"^2(frac{x}{2})}{1 + "tg"^2(frac{x}{2})}$
 
$"tg"(x) = frac{2 "tg"(frac{x}{2})}{1 – "tg"^2(frac{x}{2})} qquad "cotg"(x) = frac{1 – "tg"^2(frac{x}{2})}{2 "tg"(frac{x}{2})}$ 

 

 

Commenti

commenti

Ci sono 4 commenti su questo articolo:

  1. grazie a questo sito sto cominciando a capire meglio l’analisi matematica grazie a tutti siete grandi

  2. mi occorerebbe la formula
    per scrivere
    sen(x^2)in modo più semplice
    per risolverne l’integrale