Geometria analitica nel piano: altri luoghi geometrici

Segmento: dati due punti (distinti) $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$, l’equazione parametrica del segmento $AB$ è

$\{(x = t x_1 + (1 – t) x_2),(y = t y_1 + (1-t) y_2):} \qquad t \in [0,1]$
 
Punto medio di un segmento: il punto medio di un segmento $AB$, con $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$, è $M = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$.
 
Distanza fra due punti (lunghezza di un segmento): la distanza fra due punti $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$, cioè la lunghezza del segmento $AB$, vale
 
$d = \sqrt{(x – x_1)^2 + (y – y_2)^2}$
 
Asse di un segmento: l’asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. L’asse di un segmento $AB$, con $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$, è la retta di equazione
 
$2 (x_1 – x_2) x + 2 (y_1 – y_2) y – (x_1^2 – x_2^2) – (y_1^2 – y_2^2) = 0$
 
Bisettrice: due rette (distinte) di equazioni $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ e $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ individuano nel piano quattro angoli, le cui bisettrici sono le due rette aventi equazione
 
$\frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \frac{a_2 x + b_2 y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$
 
$\frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = – \frac{a_2 x + b_2 y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$
 
Luogo dei punti a distanza assegnata da una retta: il luogo dei punti a distanza $d$ dalla retta di equazione $ax + by + c = 0$ è dato dalle due rette di equazione
 
$ax + by + c – d \sqrt{a^2 + b^2} = 0$
 
$ax + by + c + d \sqrt{a^2 + b^2} = 0$
 
Baricentro di un triangolo: dato un triangolo avente i vertici in $A = (x_1, y_1)$, $B = (x_2, y_2)$, $C = (x_3, y_3)$, le coordinate del baricentro sono
 
$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$
 
Area di un triangolo: dato un triangolo avente i vertici in $A = (x_1, y_1)$, $B = (x_2, y_2)$, $C = (x_3, y_3)$, la sua area vale
 
$"Area" = \frac{1}{2} | \det ((x_1 \quad, y_1 \quad, 1),(x_2 \quad, y_2 \quad, 1),(x_3 \quad, y_3 \quad, 1))| = \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_3 y_1 + x_2 y_3 – x_3 y_2 – x_1 y_3 – x_2 y_1|$
 
 

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