Definizione: un'ellisse è il luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Equazione canonica: l'equazione di un'ellisse con centro nell'origine e asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiani è
[math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
(dove
[math]a,b > 0[/math]
). Se
[math]a > b[/math]
l'asse focale è parallelo all'asse
[math]x[/math]
, se invece
[math]a l'asse focale è parallelo all'asse
[math]y[/math]
.
Notare che se
[math]a = b[/math]
si ottiene l'equazione di una
circonferenza con centro nell'origine e raggio
[math]a[/math]
.
Equazione dell'ellisse traslata: l'equazione cartesiana di un'ellisse con asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiani e centro in
[math](x_0, y_0)[/math]
è
[math]\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1[/math]
.
Equazione parametrica: dato un'ellisse con equazione cartesiana
[math]\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1[/math]
, la sua equazione parametrica è
[math]\egin{cases} x = a \\cos(t) + x_0 \\ y = b \\sin(t) + x_0 \ \end{cases} qquad t in [0, 2 \\pi)[/math]
Vertici: dato un'ellisse di equazione
[math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
, le coordinate dei vertici sono
[math]A_1 = (a, 0)[/math] | [math]A_2 = (-a, 0)[/math] | [math]B_1 = (0,b)[/math] | [math]B_2 = (0,-b)[/math] |
Asse focale: si dice asse focale il segmento contenente i due fuochi dell'ellisse. Se
[math]a > b[/math]
il segmento
[math]A_1 A_2[/math]
è l'asse focale mentre
[math]B_1 B_2[/math]
è l'asse minore, se invece
[math]a il segmento
[math]B_1 B_2[/math]
è l'asse focale e
[math]A_1 A_2[/math]
è l'asse minore. Quindi se
[math]a > b[/math]
la lunghezza dell'asse focale è
[math]2a[/math]
, se
[math]a la lunghezza dell'asse focale è
[math]2b[/math]
.
Fuochi: data un'ellisse di equazione
[math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
, posto
[math]c = \sqrt{|a^2 - b^2|}[/math]
, le coordinate dei fuochi sono
-
[math]F_1 = (c, 0)[/math]
e
[math]F_2 = (-c, 0)[/math]
se
[math]a > b[/math]
-
[math]F_1 = (0, c)[/math]
e
[math]F_2 = (0, -c)[/math]
se
[math]a
Eccentricità : data un'ellisse di equazione
[math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}[/math]
, e posto
[math]c = \sqrt{|a^2 - b^2|}[/math]
- se
[math]a > b[/math]
l'eccentricità vale
[math]e = \frac{c}{a}[/math]
- se
[math]a l'eccentricità vale
[math]e = \frac{c}{b}[/math]
Comunque si scelgano
[math]a,b > 0[/math]
, con
[math]a \ne b[/math]
, risulta
[math]0 . Se
[math]a = b[/math]
, ossia nel caso di una
circonferenza, risulta
[math]e = 0[/math]
.
Intersezione di un'ellisse con una retta: dato un'ellisse di equazione
[math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
e una retta di equazione
[math]y = mx + q[/math]
:
- se
[math]a^4 m^2 q^2 - a^2 (q^2 - b^2) (b^2 + a^2 m^2) la retta è esterna all'ellisse, e non ci sono intersezioni
- se
[math]a^4 m^2 q^2 - a^2 (q^2 - b^2) (b^2 + a^2 m^2) = 0[/math]
la retta è tangente all'ellisse, e le coordinate del punto di tangenza sono date dalla soluzione del sistema
[math]\egin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ y = mx + q \ \end{cases}[/math]
- se
[math]a^4 m^2 q^2 - a^2 (q^2 - b^2) (b^2 + a^2 m^2) > 0[/math]
la retta è secante, e le coordinate dei due punti di intersezione sono dati dalle soluzioni del sistema
[math]\egin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ y = mx + q \ \end{cases}[/math]
Nel caso di una retta parallela all'asse
[math]y[/math]
di equazione
[math]x = x_0[/math]
:
- se
[math]|x_0| > a[/math]
la retta è esterna e non ha punti di intersezione con l'ellisse
- se
[math]x_0 = -a[/math]
la retta è tangente e il punto di tangenza ha coordinate
[math](-a,0)[/math]
- se
[math]x_0 = a[/math]
la retta è tangente e il punto di tangenza ha coordinate
[math](a,0)[/math]
- se
[math]-a la retta è secante e interseca l'ellisse nei due punti
[math](x_0, \\pm b \sqrt{1 - \frac{x_0^2}{a^2}})[/math]
Ellisse passante per due punti: dati due punti
[math](x_1, y_1)[/math]
e
[math](x_2, y_2)[/math]
non simmetrici rispetto agli assi o all'origine, l'equazione dell'ellisse con centro in
[math](0,0)[/math]
e asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiano è
[math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
, dove
[math]a, b[/math]
sono la soluzione del sistema
[math]\egin{cases} \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \\ \frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \ \end{cases}[/math]
Ellisse di cui si conosce un fuoco e un vertice: l'equazione di un'ellisse che ha un fuoco in
[math](c, 0)[/math]
e un vertice in
[math](a,0)[/math]
è
[math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - c^2} = 1[/math]
.
L'equazione di un'ellisse con un fuoco in
[math](0,c)[/math]
e vertice in
[math](a, 0)[/math]
è
[math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 + c^2} = 1[/math]
L'equazione di un'ellisse con un fuoco in
[math](0,c)[/math]
e vertice in
[math](0, b)[/math]
è
[math]\frac{x^2}{b^2 - c^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
L'equazione di un'ellisse con un fuoco in
[math](c,0)[/math]
e vertice in
[math](0, b)[/math]
è
[math]\frac{x^2}{b^2 + c^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
