Geometria analitica nel piano: ellisse

Definizione: un’ellisse è il luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione canonica: l’equazione di un’ellisse con centro nell’origine e asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiani è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (dove $a,b > 0$). Se $a > b$ l’asse focale è parallelo all’asse $x$, se invece $a < b$ l’asse focale è parallelo all’asse $y$.

Notare che se $a = b$ si ottiene l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine e raggio $a$.

Equazione dell’ellisse traslata: l’equazione cartesiana di un’ellisse con asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiani e centro in $(x_0, y_0)$ è $\frac{(x – x_0)^2}{a^2} + \frac{(y – y_0)^2}{b^2} = 1$.

Equazione parametrica: dato un’ellisse con equazione cartesiana $\frac{(x – x_0)^2}{a^2} + \frac{(y – y_0)^2}{b^2} = 1$, la sua equazione parametrica è

$\{(x = a \cos(t) + x_0),(y = b \sin(t) + x_0):} \qquad t \in [0, 2 \pi)$

Vertici: dato un’ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, le coordinate dei vertici sono

$A_1 = (a, 0)$  $A_2 = (-a, 0)$  $B_1 = (0,b)$  $B_2 = (0,-b)$ 

Asse focale: si dice asse focale il segmento contenente i due fuochi dell’ellisse. Se $a > b$ il segmento $A_1 A_2$ è l’asse focale mentre $B_1 B_2$ è l’asse minore, se invece $a < b$ il segmento $B_1 B_2$ è l’asse focale e $A_1 A_2$ è l’asse minore. Quindi se $a > b$ la lunghezza dell’asse focale è $2a$, se $a < b$ la lunghezza dell’asse focale è $2b$.

Fuochi: data un’ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, posto $c = \sqrt{|a^2 – b^2|}$, le coordinate dei fuochi sono

– $F_1 = (c, 0)$ e $F_2 = (-c, 0)$ se $a > b$

– $F_1 = (0, c)$ e $F_2 = (0, -c)$ se $a < b$

Eccentricità: data un’ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$, e posto $c = \sqrt{|a^2 – b^2|}$

– se $a > b$ l’eccentricità vale $e = \frac{c}{a}$

– se $a < b$ l’eccentricità vale $e = \frac{c}{b}$

Comunque si scelgano $a,b > 0$, con $a \ne b$, risulta $0 < e < 1$. Se $a = b$, ossia nel caso di una circonferenza, risulta $e = 0$.

Intersezione di un’ellisse con una retta: dato un’ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ e una retta di equazione $y = mx + q$:

– se $a^4 m^2 q^2 – a^2 (q^2 – b^2) (b^2 + a^2 m^2) < 0$ la retta è esterna all’ellisse, e non ci sono intersezioni

– se $a^4 m^2 q^2 – a^2 (q^2 – b^2) (b^2 + a^2 m^2) = 0$ la retta è tangente all’ellisse, e le coordinate del punto di tangenza sono date dalla soluzione del sistema

$\{(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1),(y = mx + q):}$

– se $a^4 m^2 q^2 – a^2 (q^2 – b^2) (b^2 + a^2 m^2) > 0$ la retta è secante, e le coordinate dei due punti di intersezione sono dati dalle soluzioni del sistema

$\{(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1),(y = mx + q):}$

Nel caso di una retta parallela all’asse $y$ di equazione $x = x_0$:

– se $|x_0| > a$ la retta è esterna e non ha punti di intersezione con l’ellisse

– se $x_0 = -a$ la retta è tangente e il punto di tangenza ha coordinate $(-a,0)$

– se $x_0 = a$ la retta è tangente e il punto di tangenza ha coordinate $(a,0)$

– se $-a < x_0 < a$ la retta è secante e interseca l’ellisse nei due punti $(x_0, \pm b \sqrt{1 – \frac{x_0^2}{a^2}})$

Ellisse passante per due punti: dati due punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ non simmetrici rispetto agli assi o all’origine, l’equazione dell’ellisse con centro in $(0,0)$ e asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiano è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, dove $a, b$ sono la soluzione del sistema

$\{(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1),(\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1):}$

Ellisse di cui si conosce un fuoco e un vertice: l’equazione di un’ellisse che ha un fuoco in $(c, 0)$ e un vertice in $(a,0)$ è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 – c^2} = 1$.

L’equazione di un’ellisse con un fuoco in $(0,c)$ e vertice in $(a, 0)$ è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 + c^2} = 1$

L’equazione di un’ellisse con un fuoco in $(0,c)$ e vertice in $(0, b)$ è $\frac{x^2}{b^2 – c^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

L’equazione di un’ellisse con un fuoco in $(c,0)$ e vertice in $(0, b)$ è $\frac{x^2}{b^2 + c^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

 

 

 

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Ci sono 12 commenti su questo articolo:

  1. Il prof non ci ha mai fatto usare un libro, spiega e noi prendiamo appunti, leggere questo formulario da una parte mi ha messo dei dubbi perchè ci sono cose che non ho mai utilizzato e risolvevo lo stesso i problemi (le coordinate dei fuochi e dei vertici), e dall’altro lato mi ha aiutata a mettere chiarezza. Grazie :-)

  2. Grazie x avere scritto ciò…mi è stato molto utile.
    Spero vada bene anke al prof ciò ke c’è scritto xkè è un pò noioso……ciaooooooo!!!!!!!
    ;-) NELLY

  3. grazie 1000!! le ho studiate l\’anno scorso queste cose ma questo formulario è utilissimo per ripassare!!

  4. ottimo promemoria ;-)
    ragazzi studiate sui libri altrimenti certo che non ci capite nulla, questo è un formulario!

  5. scusate ma nn vedo le incongruenze, anzi mi sembra un lavoro ben fatto per chi ha già studiato l’argomento, non pretenderete di capire l’argomento leggendo un formulario O.o

  6. le formule della parte “ellisse di cui si conosce un fuoco e un vertice” sono corrette ?? il quadrato sull’ipotenusa è differenza dei quadrati sui cateti ? possibile ?