Definizione: l'iperbole è il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di un'iperbole con i fuochi sull'asse
[math]x[/math]
e simmetrici rispetto all'origine è
[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
Invece l'equazione di un'iperbole con i fuochi appartenenti all'asse
[math]y[/math]
e simmetrici rispetto all'origine è
[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1[/math]
In entrambi i casi risulta
[math]a, b \in \mathbb{R}^{+}[/math]
.
Equazione parametrica: data un'iperbole con equazione cartesiana
[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
, l'equazione parametrica corrispondente è
[math]\egin{cases} x = a \\cosh(t) \\ y = b \\sinh(t) \ \end{cases} qquad t in [0, 2 \\pi)[/math]
Data invece un'iperbole con equazione cartesiana
[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1[/math]
, l'equazione parametrica corrispondente è
[math]\egin{cases} x = a \frac{\\sin(t)}{\\cos(t)} \\ y = \frac{b}{\\cos(t)} \ \end{cases} qquad t in [0, 2 \\pi) setmi
us {\frac{\\pi}{2}, 3 \frac{\\pi}{2}}[/math]
Vertici: i vertici di un'iperbole di equazione
[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
hanno coordinate
[math]A_1 = (a, 0) qquad A_2 = (-a,0)[/math]
Invece i vertici di un'iperbole di equazione
[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1[/math]
hanno coordinate
[math]B_1 = (0, b) qquad B_2 = (0, -b)[/math]
Asintoti: gli asintoti di un'iperbole con equazione
[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
o
[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1[/math]
sono le rette di equazione
[math]y = \frac{b}{a} x qquad y = -\frac{b}{a} x[/math]
Fuochi: posto
[math]c^2 = a^2 + b^2[/math]
, i fuochi hanno coordinate
[math]F_1 = (c, 0) qquad F_2 = (-c, 0)[/math]
o
[math]F_1 = (0, c) qquad F_2 = (0, -c)[/math]
a seconda del caso considerato (vale a dire fuochi appartenenti all'asse
[math]x[/math]
o all'asse
[math]y[/math]
).
Eccentricità : nel caso di iperbole con fuochi appartenenti all'asse
[math]x[/math]
l'eccentricità vale
[math]e = \frac{c}{a}[/math]
.
Nel caso di iperbole con fuochi appartenenti all'asse
[math]y[/math]
l'eccentricità vale
[math]e = \frac{c}{b}[/math]
.
Iperbole equilatera: nel caso di
[math]a=b[/math]
si ottiene un'iperbole equilatera, di equazione
[math]x^2 - y^2 = a^2[/math]
se i fuochi appartengono all'asse
[math]x[/math]
[math]x^2 - y^2 = -a^2[/math]
se i fuochi appartengono all'asse
[math]y[/math]
Gli asintoti di un'iperbole equilatera hanno equazione
[math]y = x[/math]
e
[math]y = -x[/math]
.
L'eccentricità di un'iperbole equilatera è
[math]e = \sqrt{2}[/math]
.
Iperbole equilatera riferita agli assi: un'iperbole equilatera ruotata di
[math]45^{circ}[/math]
è un'iperbole equilatera che ammette per asintoti gli assi cartesiani, ed ha equazione
[math]xy = k[/math]
con
[math]k \in \mathbb{R} setmi
us {0}[/math]
.
- Se
[math]k > 0[/math]
l'iperbole è situata nel primo e terzo quadrante
- Se
[math]k l'iperbole è situata nel secondo e quarto quadrante.
Intersezioni fra un'iperbole e una retta: i punti di intersezione fra un'iperbole di equazione
[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
e una retta di equazione
[math]y = mx + q[/math]
sono i punti che risolvono il sistema
[math]\egin{cases} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ y = mx + q \ \end{cases}[/math]
- Se
[math]b^2 - m^2 a^2 = 0[/math]
la retta è parallela ad un asintoto ed ha un solo punto di intersezione con l'iperbole, la cui ascissa vale
[math]x = - \frac{q^2 + b^2}{2 m q}[/math]
. Se
[math]q = 0[/math]
la retta coincide con un asintoto, e in tal caso non ci sono punti di intersezione.
- Se
[math]4 m^2 q^2 a^4 + 4 (a^2 q^2 + a^2 b^2) (b^2 - m^2 a^2) la retta è esterna all'iperbole, e non ci sono punti di intersezione
- Se
[math]4 m^2 q^2 a^4 + 4 (a^2 q^2 + a^2 b^2) (b^2 - m^2 a^2) = 0[/math]
la retta è tangente all'iperbole
- Se
[math]4 m^2 q^2 a^4 + 4 (a^2 q^2 + a^2 b^2) (b^2 - m^2 a^2) > 0[/math]
la retta è secante ed interseca l'iperbole in due punti distinti
Tangente all'iperbole per un punto: sia
[math]P = (x_0, y_0)[/math]
un punto appartenente ad un'iperbole, nella tabella seguente sono riportate le
equazioni delle tangenti all'iperbole in
[math]P[/math]
, per ogni tipo di iperbole fin qui considerato
| Equazione iperbole | Equazione tangente |
[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1[/math] | [math]\frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 1[/math] |
[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1[/math] | [math]\frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = -1[/math] |
[math]x^2 - y^2 = a^2[/math] | [math]x x_0 - y y_0 = a^2[/math] |
[math]x^2 - y^2 = -a^2[/math] | [math]x x_0 - y y_0 = -a^2[/math] |
[math]xy = k[/math] | [math]\frac{x y_0 + x_0 y}{2} - k = 0[/math] |
Funzione omografica: una funzione omografica è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani, ma non necessariamente coincidenti con gli assi stessi. Dati
[math]a, b, c, d \in \mathbb{R}[/math]
, con
[math]c \ne 0[/math]
, l'equazione generica di una funzione omografica è
[math]y = \frac{ax + b}{cx + d}[/math]
- Se
[math]ad - bc = 0[/math]
allora l'equazione precedente rappresenta una retta parallela all'asse
[math]x[/math]
privata del punto di ascissa
[math]-\frac{d}{c}[/math]
- Se
[math]ad - bc \ne 0[/math]
l'equazione precedente rappresenta un'iperbole equilatera con centro di simmetria in
[math](-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})[/math]
e asintoti di equazione
[math]x = -\frac{d}{c}[/math]
e
[math]y = \frac{a}{c}[/math]
.
