Geometria analitica nel piano: iperbole

Definizione: l’iperbole è il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
 
Equazione cartesiana: l’equazione cartesiana di un’iperbole con i fuochi sull’asse $x$ e simmetrici rispetto all’origine è
 
$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$
 
Invece l’equazione di un’iperbole con i fuochi appartenenti all’asse $y$ e simmetrici rispetto all’origine è
 
$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1$
 
In entrambi i casi risulta $a, b \in \mathbb{R}^{+}$.
 
Equazione parametrica: data un’iperbole con equazione cartesiana $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$, l’equazione parametrica corrispondente è
 
$\{(x = a \cosh(t)),(y = b \sinh(t)):} \qquad t \in [0, 2 \pi)$
 
Data invece un’iperbole con equazione cartesiana $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1$, l’equazione parametrica corrispondente è
 
$\{(x = a \frac{\sin(t)}{\cos(t)}),(y = \frac{b}{\cos(t)}):} \qquad t \in [0, 2 \pi) \setminus \{\frac{\pi}{2}, 3 \frac{\pi}{2}\}$
 
Vertici: i vertici di un’iperbole di equazione $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ hanno coordinate
 
$A_1 = (a, 0) \qquad A_2 = (-a,0)$
 
Invece i vertici di un’iperbole di equazione $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1$ hanno coordinate
 
$B_1 = (0, b) \qquad B_2 = (0, -b)$
 
Asintoti: gli asintoti di un’iperbole con equazione $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ o $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1$ sono le rette di equazione
 
$y = \frac{b}{a} x \qquad y = -\frac{b}{a} x$
 
Fuochi: posto $c^2 = a^2 + b^2$, i fuochi hanno coordinate
 
$F_1 = (c, 0) \qquad F_2 = (-c, 0)$
 
o
 
$F_1 = (0, c) \qquad F_2 = (0, -c)$
 
a seconda del caso considerato (vale a dire fuochi appartenenti all’asse $x$ o all’asse $y$).
 
Eccentricità: nel caso di iperbole con fuochi appartenenti all’asse $x$ l’eccentricità vale $e = \frac{c}{a}$.
Nel caso di iperbole con fuochi appartenenti all’asse $y$ l’eccentricità vale $e = \frac{c}{b}$.
 
Iperbole equilatera: nel caso di $a=b$ si ottiene un’iperbole equilatera, di equazione
 
$x^2 – y^2 = a^2$ se i fuochi appartengono all’asse $x$
 
$x^2 – y^2 = -a^2$ se i fuochi appartengono all’asse $y$
 
Gli asintoti di un’iperbole equilatera hanno equazione $y = x$ e $y = -x$.
 
L’eccentricità di un’iperbole equilatera è $e = \sqrt{2}$.
 
Iperbole equilatera riferita agli assi: un’iperbole equilatera ruotata di $45^{\circ}$ è un’iperbole equilatera che ammette per asintoti gli assi cartesiani, ed ha equazione
 
$xy = k$
 
con $k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
 
– Se $k > 0$ l’iperbole è situata nel primo e terzo quadrante
 
– Se $k < 0$ l’iperbole è situata nel secondo e quarto quadrante.
 
Intersezioni fra un’iperbole e una retta: i punti di intersezione fra un’iperbole di equazione $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ e una retta di equazione $y = mx + q$ sono i punti che risolvono il sistema
 
$\{(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1),(y = mx + q):}$
 
– Se $b^2 – m^2 a^2 = 0$ la retta è parallela ad un asintoto ed ha un solo punto di intersezione con l’iperbole, la cui ascissa vale $x = – \frac{q^2 + b^2}{2 m q}$. Se $q = 0$ la retta coincide con un asintoto, e in tal caso non ci sono punti di intersezione.
 
– Se $4 m^2 q^2 a^4 + 4 (a^2 q^2 + a^2 b^2) (b^2 – m^2 a^2) < 0$ la retta è esterna all’iperbole, e non ci sono punti di intersezione
 
– Se $4 m^2 q^2 a^4 + 4 (a^2 q^2 + a^2 b^2) (b^2 – m^2 a^2) = 0$ la retta è tangente all’iperbole
 
– Se $4 m^2 q^2 a^4 + 4 (a^2 q^2 + a^2 b^2) (b^2 – m^2 a^2) > 0$ la retta è secante ed interseca l’iperbole in due punti distinti
 
Tangente all’iperbole per un punto: sia $P = (x_0, y_0)$ un punto appartenente ad un’iperbole, nella tabella seguente sono riportate le equazioni delle tangenti all’iperbole in $P$, per ogni tipo di iperbole fin qui considerato
 
 Equazione iperbole
Equazione tangente 
$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$  $\frac{x x_0}{a^2} – \frac{y y_0}{b^2} = 1$ 
$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1$  $\frac{x x_0}{a^2} – \frac{y y_0}{b^2} = -1$ 
$x^2 – y^2 = a^2$  $x x_0 – y y_0 = a^2$ 
$x^2 – y^2 = -a^2$  $x x_0 – y y_0 = -a^2$ 
$xy = k$  $\frac{x y_0 + x_0 y}{2} – k = 0$ 

 

Funzione omografica: una funzione omografica è un’iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani, ma non necessariamente coincidenti con gli assi stessi. Dati $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, con $c \ne 0$, l’equazione generica di una funzione omografica è
 
$y = \frac{ax + b}{cx + d}$
 
– Se $ad – bc = 0$ allora l’equazione precedente rappresenta una retta parallela all’asse $x$ privata del punto di ascissa $-\frac{d}{c}$
 

– Se $ad – bc \ne 0$ l’equazione precedente rappresenta un’iperbole equilatera con centro di simmetria in $(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})$ e asintoti di equazione $x = -\frac{d}{c}$ e $y = \frac{a}{c}$.

 

Commenti

commenti

Ci sono 10 commenti su questo articolo:

  1. boh.. l’equazione parametrica già mi sembra sbagliata, visto che cosh(t)>0 sempre, non è possibile parametrizzarla tutta. Così ho smesso di leggere, per sicurezza.

  2. vedi di pubblicare il mio kommento muahahahah sei uno scarsoneee muahahahahhahahahahaha

  3. queste spiegazioni sono una cagata le mie spiegazioni sono molto meglio muahahahahahhaahhahahahahahahaha (_|_)

  4. semplice, schemmatico… peccato manchi la dimosttrazione… sarebbbe utile

  5. Complimenti per la chiarezza nell’esposizione del contenuto. Grazie mi ha chiarito i concetti

  6. mi associo al commento sovrascritto,ottime cose,ma senza una traccia grafica di alcuni possibili esempi resta piu compless comprenderne il pieno significato…

  7. ottime spiegazioni.forse servirebbero esempi grafici pero questa mancanza rende piu schematico il commento.