Geometria analitica nel piano: retta

Equazione in forma implicita: dati $a, b, c \in \mathbb{R}$, con $a$ e $b$ non contemporaneamente nulli, l’equazione cartesiana di una retta in forma implicita è $ax + by + c = 0$
 
Equazione di una retta in forma esplicita: se $b \ne 0$, posto $m = -\frac{a}{b}$ e $q = -\frac{c}{b}$ si ottiene l’equazione cartesiana in forma esplicita di una retta, ovvero $y = mx + q$. Il termine $m$ si dice coefficiente angolare, il termine $q$ si dice quota.
 
Retta parallela all’asse $x$: l’equazione di una generica retta parallela all’asse $x$ è $y = k$, ottenuta dall’equazione in forma implicita per $a=0$ e $k = -\frac{c}{b}$. Il coefficiente angolare di una retta di questo tipo è $0$, mentre la quota è $k$.
 
Retta parallela all’asse $y$: l’equazione di una generica retta parallela all’asse $y$ è $x = h$, ottenuta dall’equazione in forma implicita per $b=0$ e $h = -\frac{c}{a}$. Per rette parallele all’asse $y$ non sono definiti né il coefficiente angolare né la quota.
 
Equazione parametrica: l’equazione parametrica di una retta parallela all’asse $y$, avente equazione cartesiana $x = x_0$, è
 
$\{(x = x_0),(y = t):} \qquad t \in \mathbb{R}$
 
Invece l’equazione parametrica di una retta avente equazione cartesiana $y = mx + q$ è
 
$\{(x = t),(y = mt + q):} \qquad t \in \mathbb{R}$
 
Equazione di una retta passante per due punti: l’equazione della retta passante per due punti distinti $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$ è $(x – x_1) (y_2 – y_1) = (y – y_1) (x_2 – x_1)$
 
Coeff. angolare di una retta passante per due punti: il coefficiente angolare della retta passante per due punti distinti $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$ vale
 
– $m = \frac{y_1 – y_2}{x_1 – x_2}$ se $x_1 \ne x_2$
 
– non è definito se $x_1 = x_2$, dato che in tal caso la retta è parallela all’asse $y$ ed ha equazione $x = x_1$
 
Condizione di parallelismo: due rette di equazione $ax + by + c = 0$ e $a’x + b’y + c’ = 0$ sono parallele se e solo se $a \cdot b’ – b \cdot a’ = 0$.
Se le due rette possono essere scritte in forma esplicita, $y = mx +q$ e $y = m’x + q’$, la condizione di parallelismo diventa $m = m’$, ossia i coefficienti angolari devono essere uguali. 
 
Intersezione fra due rette: se due rette di equazione $a x + by + c = 0$ e $a’ x + b’y + c’ = 0$ non sono parallele, allora hanno uno e un solo punto di intersezione, le cui coordinate $(x,y)$ sono date dalla risoluzione del sistema
 
$\{(ax + by + c = 0),(a’x + b’y + c’ = 0):}$
 
Condizione di perpendicolarità: due rette di equazione $ax + by + c = 0$ e $a’x + b’y + c’ = 0$ sono ortogonali se e solo se $a \cdot a’ + b \cdot b’ = 0$.
Se le due rette possono essere scritte nella forma esplicita $y = mx + q$ e $y = m’x + q’$, la condizione di perpendicolarità diventa $m = – \frac{1}{m’}$, ossia $m \cdot m’ = -1$.
 
Fascio improprio di rette: si dice fascio improprio di rette l’insieme di tutte le rette parallele ad una retta data, della base del fascio.
Se $ax + by + c = 0$ è l’equazione della retta data, base del fascio, al variare di $k \in \mathbb{R}$ l’equazione $ax + by + k = 0$ rappresenta l’equazione del fascio improprio.
Se $y = mx + q$ è l’equazione in forma esplicita della base del fascio, l’equazione del fascio improprio, al variare di $k \in \mathbb{R}$, è $y = mx + k$.
 
Casi particolari: $x = k$ rappresenta l’equazione del fascio di rette parallele all’asse $y$, $y = k$ rappresenta invece l’equazione del fascio di rette parallele all’asse $x$.
 
Equazione della retta passante per un punto e parallela ad una retta data: l’equazione della retta passante per un punto $(x_0, y_0)$ e parallela alla retta di equazione $ax + by + c = 0$ è
 
$ax + by – a x_0 – b y_0 = 0$
 
Equazione della retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data: l’equazione della retta passante per un punto $(x_0, y_0)$ e perpendicolare alla retta di equazione $a x + by + c = 0$ è
 
$bx – ay – b x_0 + a y_0 = 0$
 
Fascio proprio di rette: si dice fascio proprio di rette con centro $P$ l’insieme di tutte le rette del piano passanti per $P$. Se $ax + by + c = 0$ e $a’x + b’y + c’ = 0$ sono due rette (non parallele) incidenti nel punto $P = (x_0, y_0)$, allora, al variare di $h, k \in \mathbb{R}$ non contemporaneamente nulli, l’equazione del fascio di rette proprio con centro $P$ è
 
$h (ax + by + c) + k(a’x + b’y + c’) = 0$
 
Posto $\gamma = \frac{h}{k}$, l’equazione
 
$\gamma (ax + by + c) + a’x + b’y + c’=0$
 
rappresenta al variare di $\gamma \in \mathbb{R}$ l’insieme di tutte le rette del piano passanti per $P$, ad eccezione della retta di equazione $ax + by + c = 0$.
 
Caso particolare: dato un punto $P = (x_0, y_0)$, l’equazione del fascio proprio con centro $P$ è descritto, al variare di $h, k \in \mathbb{R}$ non contemporaneamente nulli, dall’equazione
 
$h (x – x_0) + k (y – y_0)$
 
Pertanto al variare di $m \in \mathbb{R}$ l’equazione
 
$y – y_0 = m (x – x_0)$
 
individua l’insieme di tutte le rette del piano passanti per $P$, ad eccezione della retta di equazione $x = x_0$.
 
Distanza punto-retta: la distanza fra un punto $P = (x_0, y_0)$ e una retta di equazione $a x + by + c = 0$ vale $d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ 
 
 

Commenti

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Ci sono 14 commenti su questo articolo:

  1. magari fai anche degli esempi per spiegare come si applicano le formule. comunque fatto molto bene

  2. io pero non ho capito se ho una equazione(esempio 5x-10y+15=0)…come faccio a ricavere le incognite??

  3. capito quasi tutto…l’unica cosa che nn mi è chiara sono l fascio proprio e improprio

  4. ho cercato ma invano la formula della distanza fra due rette parallele di date equazioni

  5. mi hai salvato x l’interrogazione di matematica….ti devo un…voto e la vita ^^ sei stato molto sintetico e preciso…complimentissimi!!!!!! ^^ hai un gran futuro km matematiko ^^