Geometria analitica nel piano: spirale e trattrice

Spirale 

Una spirale è una curva che si avvolge attorno ad un punto fisso, detto polo della spirale.

Spirale archimedea

spirale_archimedea.jpg
Equazione in forma polare: dati $a, b in mathbb{R}$, l’equazione in coordinate polari di una spirale archimedea è
 
$
ho = a + b heta$
 
Distanza fra i bracci: in una spirale archimedea la distanza fra i bracci vale $2 pi b$.
 

Spirale iperbolica

spirale_iperbolica.jpg
Equazione in forma polare: dato $a in mathbb{R} setminus {0}$, l’equazione in coordinate polare di una spirale iperbolica è $
ho heta = a$.
 
Equazione parametrica: l’equazione parametrica di una spirale iperbolica è
 
${(x = a frac{cos(t)}{t}),(y = a frac{sin(t)}{t}):} quad t in mathbb{R} setminus {0}$
 
Asintoto: una spirale iperbolica, di equazione in forma polare o parametrica come le precedenti, ammette come asintoto la retta di equazione $y = a$.

Spirale logaritmica

spirale_logaritmica.gif
Equazione in forma polare: dati $a in mathbb{R} setminus {0}$ e $b in mathbb{R} setminus {0, 1}$, l’equazione in coordinate polari di una spirale logaritmica è
 
$
ho = a b^{ heta}$
 
o equivalentemente
 
$ heta = log_{b}(frac{
ho}{a})$
 
Equazione parametrica: l’equazione parametrica di una spirale logaritmica è
 
${(x = a b^t cos(t)),(y = a b^t sin(t)):} quad t in mathbb{R}$
 

Trattrice

La trattrice è una curva in cui i segmenti tra una curva e una data retta risultano di ugual misura.

trattrice.gif
Equazione trigonometrica: l’equazione in forma trigonometrica di una trattrice con la cuspide nel punto $(a,0)$ è
 
$x = a ln(frac{a + sqrt{a^2 – y^2}}{y}) – sqrt{a^"2- x^2}$
 
$y = a cos(t) quad t in [0, frac{pi}{2}]$
 
Equazione iperbolica: l’equazione in forma iperbolica di una trattrice con la cuspide in $(a,0)$ è
 
$y = frac{a}{cosh(t)}$
 
Equazione differenziale: una trattrice con la cuspide in $(a,0)$ soddisfa la seguente equazione differenziale
 
$frac{dx}{dy} = – frac{y}{sqrt{a^2 – y^2}}$
 
Asintoto: una trattrice, avente come equazione una delle precedenti, ammette come asintoto la retta di equazione $x = 0$
 
Lunghezza di un arco: la lunghezza di un arco di trattrice individuato dalle rette di equazione $x = x_1$ e $x = x_2$ ($0 < x_1 le x_2$) è $a ln(frac{x_1}{x_2})$
 
Area: l’area compresa fra la trattrice e il suo asintoto è $a^2 frac{pi}{2}$
 
 
 

 

 

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