Geometria analitica nel piano: traslazioni e rotazioni

Traslazioni nel piano

Siano $xOy$ e $X O’ Y$ due riferimenti cartesiani paralleli ed equiversi, e siano $(x_0, y_0)$ le coordinate di $O’$ rispetto a $O$, allora le coordinate dei due riferimenti sono legate dalle equazioni

$\{(X = x – x_0),(Y = y – y_0):}$

 
Esempio: sia $2x + 3y – 5 = 0$ l’equazione di una retta $r$ riferita al sistema cartesiano $x O y$, $O = (0,0)$. Scrivere l’equazione della retta $r$ rispetto al sistema cartesiano $X O’ Y$ centrato in $(1, 3)$.

Risulta

$\{(X = x – 1),(Y = y – 3):} \implies \{(x = X + 1),(y = Y + 3):}$

 
Sostituendo tali valori nell’equazione della retta $r$ si trova

$2(X + 1) + 3 (Y + 3) – 5 = 0 \implies 2 X + 2 + 3 Y + 9 – 5 = 0 \implies 2 X + 3 Y + 6 = 0$

 
che è l’equazione di $r$ rispetto al nuovo sistema $X O’ Y$.

Esempio: data la parabola di equazione $y = 3x^2 – 5x + 6$, scrivere l’equazione della parabola simmetrica rispetto alla retta $y = 2$.

Per prima cosa si considera un nuovo riferimento cartesiano $X O’ Y$ centrato in $(0, 2)$, quindi

$\{(X = x – 0),(Y = y – 2):} \implies \{(x = X),(y = Y + 2):}$

 
L’equazione della parabola rispetto al nuovo sistema è $Y + 2 = 3 X^2 – 5 X + 6$, ovvero $Y = 3 X^2 – 5 X + 4$. Chiedere la simmetrica rispetto alla retta $y = 2$ equivale a chiedere la simmetrica rispetto alla retta $Y = 0$, e l’equazione di tale parabola rispetto al nuovo sistema è banalmente

$Y = – 3X^2 + 5 X – 4$

 
Ricordando che

$\{(X = x),(Y = y – 2):}$

 
sostituendo nella precedente equazione si trova

$y – 2 = – 3x^2 + 5 x – 4 \implies y = – 3x^2 + 5x – 2$

 
che è l’equazione della parabola simmetrica a $y = 3x^2 – 5x + 6$ rispetto alla retta $y = 2$.

Rotazioni nel piano

Sia $x O y$ un riferimento cartesiano ortogonale, $O = (0,0)$, e sia $X O Y$ un nuovo riferimento ottenuto come rotazione antioraria di un angolo $\theta$ attorno ad $O$ di $x O y$. Le coordinate dei due riferimenti sono legate dalle seguenti equazioni

$\{(X = x \cos(\theta) – y \sin(\theta)),(Y = x \sin(\theta) + y \cos(\theta)):}$

 
Esempio: scrivere l’equazione dell’ellisse con asse focale appartenente alla retta $y = x$ di lunghezza $6$, asse minore appartenente alla retta $y = -x$ di lungezza $4$, centrato in $(0,0)$.

Si consideri come nuovo riferimento cartesiano $X O Y$ quello ottenuto ruotando il riferimento canonico in senso orario di un angolo pari a $\frac{\pi}{4}$. In tal modo gli assi dell’ellisse appartengono agli assi del nuovo riferimento, e l’equazione dell’ellisse rispetto a $X O Y$ è banalmente

$\frac{X^2}{9} + \frac{Y^2}{4} = 1$

 
Ricordando le relazioni della rotazione in questione

$\{(X = x \cos(\frac{\pi}{4}) – y \sin(\frac{\pi}{4})),(Y = x \sin(\frac{\pi}{4}) + y \cos(\frac{\pi}{4})):} \implies \{(X = \frac{x}{\sqrt{2}} – \frac{y}{\sqrt{2}}),(Y = \frac{x}{\sqrt{2}}  + \frac{y}{\sqrt{2}}):}$

 
e sostituendo nell’equazione precedente, si trova l’equazione dell’ellisse richiesto rispetto al sistema $x O y$, ovvero
 
$\frac{(\frac{x}{\sqrt{2}} – \frac{y}{\sqrt{2}})^2}{9} + \frac{(\frac{x}{\sqrt{2}}  + \frac{y}{\sqrt{2}})^2}{4} = 1$
 

 

 

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