Traslazioni nel piano
Siano
[math]xOy[/math]
e [math]X O' Y[/math]
due riferimenti cartesiani paralleli ed equiversi, e siano [math](x_0, y_0)[/math]
le coordinate di [math]O'[/math]
rispetto a [math]O[/math]
, allora le coordinate dei due riferimenti sono legate dalle equazioni
[math]\egin{cases} X = x - x_0 \\ Y = y - y_0 \ \end{cases}[/math]
Esempio: sia
[math]2x + 3y - 5 = 0[/math]
l'equazione di una retta [math]r[/math]
riferita al sistema cartesiano [math]x O y[/math]
, [math]O = (0,0)[/math]
. Scrivere l'equazione della retta [math]r[/math]
rispetto al sistema cartesiano [math]X O' Y[/math]
centrato in [math](1, 3)[/math]
. Risulta
[math]\egin{cases} X = x - 1 \\ Y = y - 3 \ \end{cases} \implies {(x = X + 1),(y = Y + 3):}[/math]
Sostituendo tali valori nell'equazione della retta
[math]r[/math]
si trova
[math]2(X + 1) + 3 (Y + 3) - 5 = 0 \implies 2 X + 2 + 3 Y + 9 - 5 = 0 \implies 2 X + 3 Y + 6 = 0[/math]
che è l'equazione di
[math]r[/math]
rispetto al nuovo sistema [math]X O' Y[/math]
. Esempio: data la parabola di equazione
[math]y = 3x^2 - 5x + 6[/math]
, scrivere l'equazione della parabola simmetrica rispetto alla retta [math]y = 2[/math]
. Per prima cosa si considera un nuovo riferimento cartesiano
[math]X O' Y[/math]
centrato in [math](0, 2)[/math]
, quindi
[math]\egin{cases} X = x - 0 \\ Y = y - 2 \ \end{cases} \implies {(x = X),(y = Y + 2):}[/math]
L'equazione della parabola rispetto al nuovo sistema è
[math]Y + 2 = 3 X^2 - 5 X + 6[/math]
, ovvero [math]Y = 3 X^2 - 5 X + 4[/math]
. Chiedere la simmetrica rispetto alla retta [math]y = 2[/math]
equivale a chiedere la simmetrica rispetto alla retta [math]Y = 0[/math]
, e l'equazione di tale parabola rispetto al nuovo sistema è banalmente
[math]Y = - 3X^2 + 5 X - 4[/math]
Ricordando che
[math]\egin{cases} X = x \\ Y = y - 2 \ \end{cases}[/math]
sostituendo nella precedente equazione si trova
[math]y - 2 = - 3x^2 + 5 x - 4 \implies y = - 3x^2 + 5x - 2[/math]
che è l'equazione della parabola simmetrica a
[math]y = 3x^2 - 5x + 6[/math]
rispetto alla retta [math]y = 2[/math]
. Rotazioni nel piano
Sia
[math]x O y[/math]
un riferimento cartesiano ortogonale, [math]O = (0,0)[/math]
, e sia [math]X O Y[/math]
un nuovo riferimento ottenuto come rotazione antioraria di un angolo [math]\theta[/math]
attorno ad [math]O[/math]
di [math]x O y[/math]
. Le coordinate dei due riferimenti sono legate dalle seguenti equazioni
[math]\egin{cases} X = x \\cos(\theta) - y \\sin(\theta) \\ Y = x \\sin(\theta) + y \\cos(\theta) \ \end{cases}[/math]
Esempio: scrivere l'equazione dell'ellisse con asse focale appartenente alla retta
[math]y = x[/math]
di lunghezza [math]6[/math]
, asse minore appartenente alla retta [math]y = -x[/math]
di lungezza [math]4[/math]
, centrato in [math](0,0)[/math]
. Si consideri come nuovo riferimento cartesiano
[math]X O Y[/math]
quello ottenuto ruotando il riferimento canonico in senso orario di un angolo pari a [math]\frac{\\pi}{4}[/math]
. In tal modo gli assi dell'ellisse appartengono agli assi del nuovo riferimento, e l'equazione dell'ellisse rispetto a [math]X O Y[/math]
è banalmente
[math]\frac{X^2}{9} + \frac{Y^2}{4} = 1[/math]
Ricordando le relazioni della rotazione in questione
[math]\egin{cases} X = x \\cos(\frac{\\pi}{4}) - y \\sin(\frac{\\pi}{4}) \\ Y = x \\sin(\frac{\\pi}{4}) + y \\cos(\frac{\\pi}{4}) \ \end{cases} \implies {(X = \frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}}),{Y = \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}}}:}[/math]
e sostituendo nell'equazione precedente, si trova l'equazione dell'ellisse richiesto rispetto al sistema
[math]x O y[/math]
, ovvero
[math]\frac{(\frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}})^2}{9} + \frac{{\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}}}^2}{4} = 1[/math]
