Geometria analitica nello spazio: retta

Equazione parametrica: l’equazione parametrica di una retta parallela al vettore (non nullo) $(a,b,c)$ e passante per il punto $(x_0, y_0, z_0)$ è
 
$\{(x = x_0 + t a),(y = y_0 + t b),(z = z_0 + t c):} \qquad t \in \mathbb{R}$
 
Equazione cartesiana: una retta nello spazio è l’intersezione di due piani (ovviamente non paralleli), pertanto l’equazione cartesiana di una retta nello spazio rappresenta, in ogni caso, l’intersezione fra due piani. L’equazione della retta data dall’intersezione dei piani $a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1$ e $a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2$ è banalmente
 
$\{(a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1),(a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2):}$
 
Una retta può essere individuata conoscendo un vettore ad essa parallelo e un punto di passaggio, Così, se $a, b, c \ne 0$, l’equazione cartesiana della retta passante per $(x_0, y_0, z_0)$ e parallela al vettore $(a,b,c)$ è
 
$\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} = \frac{z – z_0}{c}$
 
Se uno o due fra parametri $a,b,c$ sono nulli l’equazione cartesiana si modifica leggermente. Ad esempio se $b = 0$ e $a, c \ne 0$ l’equazione cartesiana diventa
 
$\{(\frac{x – x_0}{a} = \frac{z – z_0}{c}),(y = y_0):}$
 
Se ad esempio $a = b = 0$ e $c \ne 0$ l’equazione cartesiana diventerebbe
 
$\{(x = x_0),(y = y_0):}$
 
Retta passante per due punti: l’equazione parametrica della retta passante per i punti $(x_1, y_1, z_1)$ e $(x_2, y_2, z_2)$ è
 
$\{(x = x_1 + t (x_2 – x_1)),(y = y_1 + t (y_2 – y_1)),(z = z_1 + t (z_2 – z_1)):} \qquad t \in \mathbb{R}$
 
Condizione di parallelismo: due rette, le cui equazioni parametriche sono
 
$\{(x = x_1 + t a_1),(y = y_1 + t b_1),(z = z_1 + t c_1):} \qquad \{(x = x_2 + t a_2),(y = y_2 + t b_2),(z = z_2 + t c_2):} \qquad t \in \mathbb{R}$
 
sono parallele se e solo se i vettori $(a_1, b_1, c_1)$ e $(a_2, b_2, c_2)$ sono paralleli, cioè se esiste $k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ tale che
 
$(a_1, b_1, c_1) = k (a_2, b_2, c_2)$
 
Condizione di ortogonalità: due rette, le cui equazioni parametriche sono
 
$\{(x = x_1 + t a_1),(y = y_1 + t b_1),(z = z_1 + t c_1):} \qquad \{(x = x_2 + t a_2),(y = y_2 + t b_2),(z = z_2 + t c_2):} \qquad t \in \mathbb{R}$
 
sono ortogonali se e solo se i vettori $(a_1, b_1, c_1)$ e $(a_2, b_2, c_2)$ sono ortogonali, cioè se e solo se
 
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
 
Retta passante per un punto e ortogonale ad un piano: l’equazione cartesiana della retta pasante per il punto $(x_0, y_0, z_0)$ e ortogonale al piano di equazione $a x + b y + c z + d = 0$ (con $a, b, c \ne 0$) è
 
$\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} = \frac{z – z_0}{c}$
 

 

Commenti

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Ci sono 6 commenti su questo articolo:

  1. sito perfetto, può essere migliorato solamente da qualche immagine. per le dimostrazioni son contento che non ci siano, per gli esempi è indifferente posso applicare le formule direttamente all’esercizio e ricavarmi l’esempio quindi secondo me il sito è perfetto così com’è!!!

  2. Sito ottimo, ma completamente INUTILE senza esempi formali sull’argomento specifico. Grazie lo stesso.

  3. Quoto piero senza esempi tutte queste equazioni le possiamo solo buttare nel cesso

  4. il vostro sito è a dir poko ottimo,tuttavia sarebbe migliore se ci fosse qualche esempio in più