Geometria analitica nello spazio: retta

Equazione parametrica: l’equazione parametrica di una retta parallela al vettore (non nullo) $(a,b,c)$ e passante per il punto $(x_0, y_0, z_0)$ è
 
$\{(x = x_0 + t a),(y = y_0 + t b),(z = z_0 + t c):} \qquad t \in \mathbb{R}$
 
Equazione cartesiana: una retta nello spazio è l’intersezione di due piani (ovviamente non paralleli), pertanto l’equazione cartesiana di una retta nello spazio rappresenta, in ogni caso, l’intersezione fra due piani. L’equazione della retta data dall’intersezione dei piani $a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1$ e $a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2$ è banalmente
 
$\{(a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1),(a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2):}$
 
Una retta può essere individuata conoscendo un vettore ad essa parallelo e un punto di passaggio, Così, se $a, b, c \ne 0$, l’equazione cartesiana della retta passante per $(x_0, y_0, z_0)$ e parallela al vettore $(a,b,c)$ è
 
$\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} = \frac{z – z_0}{c}$
 
Se uno o due fra parametri $a,b,c$ sono nulli l’equazione cartesiana si modifica leggermente. Ad esempio se $b = 0$ e $a, c \ne 0$ l’equazione cartesiana diventa
 
$\{(\frac{x – x_0}{a} = \frac{z – z_0}{c}),(y = y_0):}$
 
Se ad esempio $a = b = 0$ e $c \ne 0$ l’equazione cartesiana diventerebbe
 
$\{(x = x_0),(y = y_0):}$
 
Retta passante per due punti: l’equazione parametrica della retta passante per i punti $(x_1, y_1, z_1)$ e $(x_2, y_2, z_2)$ è
 
$\{(x = x_1 + t (x_2 – x_1)),(y = y_1 + t (y_2 – y_1)),(z = z_1 + t (z_2 – z_1)):} \qquad t \in \mathbb{R}$
 
Condizione di parallelismo: due rette, le cui equazioni parametriche sono
 
$\{(x = x_1 + t a_1),(y = y_1 + t b_1),(z = z_1 + t c_1):} \qquad \{(x = x_2 + t a_2),(y = y_2 + t b_2),(z = z_2 + t c_2):} \qquad t \in \mathbb{R}$
 
sono parallele se e solo se i vettori $(a_1, b_1, c_1)$ e $(a_2, b_2, c_2)$ sono paralleli, cioè se esiste $k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ tale che
 
$(a_1, b_1, c_1) = k (a_2, b_2, c_2)$
 
Condizione di ortogonalità: due rette, le cui equazioni parametriche sono
 
$\{(x = x_1 + t a_1),(y = y_1 + t b_1),(z = z_1 + t c_1):} \qquad \{(x = x_2 + t a_2),(y = y_2 + t b_2),(z = z_2 + t c_2):} \qquad t \in \mathbb{R}$
 
sono ortogonali se e solo se i vettori $(a_1, b_1, c_1)$ e $(a_2, b_2, c_2)$ sono ortogonali, cioè se e solo se
 
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
 
Retta passante per un punto e ortogonale ad un piano: l’equazione cartesiana della retta pasante per il punto $(x_0, y_0, z_0)$ e ortogonale al piano di equazione $a x + b y + c z + d = 0$ (con $a, b, c \ne 0$) è
 
$\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} = \frac{z – z_0}{c}$
 

 

Commenti

commenti

Ci sono 6 commenti su questo articolo:

  1. sito perfetto, può essere migliorato solamente da qualche immagine. per le dimostrazioni son contento che non ci siano, per gli esempi è indifferente posso applicare le formule direttamente all’esercizio e ricavarmi l’esempio quindi secondo me il sito è perfetto così com’è!!!

  2. Sito ottimo, ma completamente INUTILE senza esempi formali sull’argomento specifico. Grazie lo stesso.

  3. il vostro sito è a dir poko ottimo,tuttavia sarebbe migliore se ci fosse qualche esempio in più