Principi di equivalenza ed equazioni di primo grado

Principi di equivalenza

Primo principio di equivalenza: data un’equazione, aggiungendo ad entrambi i membri uno stesso numero od una stessa espressione contenente l’incognita si ottiene un’equazione equivalente, a patto che, nel caso di aggiunta di un’espressione dipendente da un’incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza.

Conseguenze dirette del primo principio di equivalenza sono la regola del trasporto e la regola di cancellazione.

Regola del trasporto: data un’equazione, trasportando un termine da un membro all’altro e cambiandolo di segno si ottiene un’equazione equivalente.

Regola di cancellazione: data un’equazione, termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere cancellati, ottenendo un’equazione equivalente.

Secondo principio di equivalenza: data un’equazione, moltiplicando ambo i membri per un numero diverso da zero, o per un’espressione contenente l’incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell’incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un’equazione equivalente.

Conseguenze dirette del secondo principio di equivalenza sono la regola di divisione per un fattore comune diverso da zero e la regola del cambiamento di segno.

Regola della divisione per un fattore comune diverso da zero: data un’equazione in cui tutti i termini hanno un fattore comune diverso da zero, dividendo per tale numero si ottiene un’equazione equivalente.

Regola del cambiamento di segno: data un’equazione, cambiando segno a tutti i termini di entrambi i membri si ottiene un’equazione equivalente.

Equazioni di primo grado

Un’equazione di primo grado in forma normale si scrive come

$ax + b = 0$

 
La soluzione dipende dai valori delle costanti $a$ e $b$:

1° caso: se $a = 0$ e $b \ne 0$ l’equazione non ha soluzione e si dice impossibile

2° caso: se $a = b = 0$ allora l’equazione ha infinite soluzioni, in particolare è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$ ($\mathbb{C}$), e si dice indeterminata

3° caso: se $a \ne 0$ allora l’equazione si dice determinata ed ha una e una sola soluzione, che vale $x = -\frac{b}{a}$

Commenti

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Ci sono 7 commenti su questo articolo:

  1. A proposito della Regola della divisione per un fattore comune diverso da zero, osservo che essa vale ANCHE se quel “fattore” (per il quale dividiamo ambo i membri) NON è comune a tutti i itermini dell’equazione. E’ vero che, in genere, tale scelta non è opportuna ma è concettualmente coerente sul piano logico. Il rischio è che l’alunno possa convincersi che la regola non vale … la mia esperienza di insegnante mi porta ad affermare che ha successo l’alunno che mette in evidenza ciò che evidente non è. Ad esempio posso mettere in evidenza 3 relativamente ad una espressione con in ocefficienti TUTTI pari. Emanuele Perez.

  2. grazie ma dovreste riguardare il pezzo in cui dite a+b=0 e tutte le cose sotto xkè sono sprecise