Definizione
Se
[math]\Omega[/math]
è un insieme e [math]\bar{A}[/math]
è l'insieme delle parti di [math]\Omega[/math]
, una probabilità [math]P[/math]
è una funzione [math]P: \bar{A} \to [0,1][/math]
che rispetta queste proprietà
1)
[math]P(\Omega) = 1[/math]
2) Se
[math]{A_i}_{i=1}^{+\infty}[/math]
sono elementi di [math]\bar{A}[/math]
a due a due disgiunti, cioè [math]A_i \cap A_j = emptyset[/math]
, per [math]i \ne j[/math]
, allora
[math]P(igcup_{i=1}^{+\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{+\infty} P(A_i)[/math]
Una terna
[math](\Omega, \bar{A}, P)[/math]
è uno spazio di probabilità .
Caso particolare: equiprobabilità
Se
[math]\Omega[/math]
ha cardinalità finitia, pari a [math]n[/math]
, e gli eventi sono equiprobabili, il calcolo della probabilità di un evento [math]A \in \bar{A}[/math]
si riduce a
[math]P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{\text{card}(A)}{n}[/math]
che intuitivamente equivale a
[math]\frac{\text{
umero casi favorevoli}}{\text{
umero casi possibili}}[/math]
. umero casi favorevoli}}{\text{
umero casi possibili}}[/math]
Esempio: calcolare la probabilità che, lanciando un dado, esca
[math]1[/math]
. Vale [math]\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}[/math]
, si suppongono gli eventi equiprobabili, cioè [math]P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = p[/math]
. Dato che [math]P(\Omega) = 1[/math]
, [math]\Omega = {1} \cup {2} \cup {3} \cup {4} \cup {5} \cup {6}[/math]
, e che questi insiemi sono disgiunti, allora
[math]1 = P(\Omega) = P({1} \cup {2} \cup {3} \cup {4} \cup {5} \cup {6}) = P({1}) + P({2}) + P({3}) + P({4}) + P({5}) + P({6} )= 6p[/math]
Dato che
[math]6p = 1[/math]
, allora [math]p = \frac{1}{6}[/math]
, quindi la probabilità che esca [math]1[/math]
(così come quella che un altro numero compreso fra [math]2[/math]
e [math]6[/math]
) è [math]\frac{1}{6}[/math]
. E infatti i casi possibili sono [math]6[/math]
, quelli favorevoli solo [math]1[/math]
.
Esempio: calcolare la probabilità di fare terno al lotto (giocando cinque numeri). I casi possibili sono tutte le possibili cinquine che si possono ottenere estraendo numeri compresi fra
[math]1[/math]
e [math]90[/math]
, cioè [math]C_{90, 5} = ((90),(5)) = \frac{90!}{5! 85!}[/math]
. I casi favorevoli sono tutti i casi in cui esce una cinquina contenente i tre numeri giocati. Dato che tre numeri sono fissati i casi favorevoli sono [math]C_{87, 2} = ((87),(2)) = \frac{87!}{2! 85!}[/math]
. La probabiliyà richiesta quindi vale
[math]\frac{C_{87, 2}}{C_{90, 5}} = \frac{5! 87!}{2 \cdot 90!}[/math]
Proprietà
[math]P(A^c) = 1 - P(A)[/math]
[math]P(A) = 1 - P(A^c)[/math]
[math]P(emptyset) = 0[/math]
(dato che [math]emptyset = \Omega^c[/math]
e [math]P(\Omega) = 1[/math]
)
[math]P(igcup_{i=1}^{+\infty} A_i) = 1 - P(igcap_{i=1}^{+\infty} A_i^c)[/math]
[math]P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap A^c)[/math]
Se
[math]A subseteq B[/math]
, allora
[math]P(A) \le P(B)[/math]
Se
[math]A[/math]
e [math]B[/math]
sono due insiemi disgiunti, cioè [math]A \cap B = emptyset[/math]
, allora
[math]P(A \cup B) = P(A) + P(B)[/math]
Se invece
[math]A[/math]
e [math]B[/math]
non sono disgiunti vale
[math]P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)[/math]
[math]P(A \cup B) = P(A) + P(B \cap A^c)[/math]
Nota
[math]P(A \cup B)[/math]
indica la probabilità che si verifichi almeno uno fra gli eventi [math]A[/math]
e [math]B[/math]
[math]P(A \cap B)[/math]
indica la probabilità che gli eventi [math]A[/math]
e [math]B[/math]
si verifichino entrambi
[math]P(A^c)[/math]
indica la probabilità che l'evento [math]A[/math]
non si verifichi
Esempio: calcolare la probabilità di ottenere almeno un
[math]6[/math]
lanciando tre volte un dado. Sia [math]A_i[/math]
l'evento "al lancio [math]i[/math]
-esimo esce [math]6[/math]
", quindi la probabilità richiesta vale
[math]P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)[/math]
ed equivale a
[math]1 - P(A_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c)[/math]
Il complementare di
[math]A_i[/math]
è [math]A_i^c[/math]
ed indica l'evento "al lancio [math]i[/math]
-esimo non esce [math]6[/math]
", pertanto l'evento [math]A_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c[/math]
equivale a "in tre lanci non esce mai [math]6[/math]
". In quest'ultimo evento i casi possibili sono [math]6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3[/math]
, quelli favorevoli sono [math]5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3[/math]
, quindi
[math]P(A_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c) = (\frac{5}{6})^3[/math]
pertanto la probabilità richiesta vale
[math]1 - P(A_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c) = 1 - (\frac{5}{6})^3[/math]
