Probabilità condizionata e indipendenza

In questo appunto di matematica si tratta della probabilità condizionata e degli eventi in dipendenti. Nei giochi di sorte l’incertezza è dovuta interamente alle situazioni che possono venire a crearsi: il lancio di un dado, la carta estratta, l’estrazione di una biglia, in cui una sola tra diverse possibilità, tante o poche che siano, si realizza. Il calcolo della probabilità ha per oggetto l’analisi delle situazioni di incertezza, questa disciplina che fa parte della matematica può aiutarci solo a prevedere e a stabilire che cosa accadrà più facilmente o più difficilmente.

Probabilità degli eventi alla base delle nostre scelte

Nella vita di tutti i giorni ci sono delle circostanze che possono evolvere in maniere differenti. Anche in queste situazioni la matematica fornisce gli strumenti per descrivere quello che può succedere attraverso l’analisi dei diversi casi che si possono presentare. Fare una previsione, prendere una decisione, assumere un determinato comportamento senza avere la certezza del risultato richiede mentalmente una valutazione che rappresenta un vero e proprio calcolo delle probabilità. In economia, in ambito finanziario; nel gioco d’azzardo; nella fase di controllo qualità di un’azienda in tutti questi casi bisogna prendere delle decisioni che se da un lato si basano su informazioni che siamo in grado di avere, dall’altro si fondano sulle reali possibilità che alcuni fatti possono effettivamente accadere. Quando rispondiamo a queste domande che ci poniamo lo facciamo non con certezza, ma solo in termini di probabilità. La matematica ci permette di quantificare attraverso un numero questo grado di incertezza, è possibile calcolare la probabilità che si verifichi una certa situazione, un evento, in tal modo possiamo confrontare anche situazioni diverse in modo da orientare le nostre scelte.
Per ulteriori approfondimenti sul calcolo delle probabilità vedi qua

Definizione della probabilità classica

In molti i giochi di sorte si utilizza il dado di legno o di plastica perfettamente omogeneo realizzato con precisione. Su ciascuna delle facce è segnato un numero da 1 a 6 e i numeri delle facce opposte danno per somma 7. Quando si lancia un dado, si dice che è uscito il numero segnato sulla faccia superiore, le possibilità sono 6:

In generale definiamo caso una qualunque delle singole possibilità che possono verificarsi. Nell’esempio relativo al lancio di un dado i casi possibili sono rappresentati dall’uscita dall’1 al 6.
Definiamo evento una delle possibilità che si possono presentare a seconda del realizzarsi di uno o più casi.
La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero dei casi che la realizzano e il numero di tutti i casi possibili, questa è la definizione della probabilità classica.
Alcuni matematici e scienziati come Girolamo Cardano e Galilei avevano già trattato alcune questioni legate all’incertezza, la nascita della probabilità è fatta risalire alla collaborazione dei matematici del XVII secolo Blaise Pascal e Pierre de Fermat, a partire da una domanda riguardante i dati posta da un giocatore.
Cerchiamo ad esempio qual è la probabilità che esca uno dei numeri pari quando si tira un dado. I numeri pari sono tre: 2, 4 e 6; abbiamo tre casi che verificano l’evento desiderato. I casi possibili sono 6, applicando la definizione data, il rapporto tra 3 e 6, restituisce 0,5 e in termini percentuali è pari al 50%, questo significa che abbiamo una possibilità su due che esca un numero pari.
Se lanciamo nuovamente il dado la probabilità di uscita del numero pari o dispari è sempre la stessa perché i due eventi sono indipendenti ovvero il primo lancio non influenza assolutamente il secondo lancio.
Se disponiamo di un sacchetto con 6 biglie numerate come le facce del dado, e ci chiediamo quale sia la probabilità di estrarre una biglia con il numero pari, questa è la stessa relativa al lancio del dado. Se non rimettiamo la pallina nel sacchetto e ci poniamo la stessa domanda, la probabilità di estrarre nuovamente una pallina con il numero pari questa volta è diversa.
Questa volta abbiamo eventi dipendenti perché la prima estrazione influisce sul risultato della seconda.
Per ulteriori approfondimenti sulle variabili aleatorie vedi qua

Probabilità condizionata, definizioni

Dati due eventi , si definisce probabilità condizionata di rispetto ad , e si indica con , la quantità:

Intuitivamente

indica la probabilità  che si verifichi sapendo che si è verificato .
Probabilità  dell'intersezione
Dati due eventi , sfruttando la probabilità  condizionata, la probabilità  che e si verifichino entrambi vale:

Vediamo di capire attraverso un esempio.
Da un'urna con

palline numerate da a si estraggono due palline senza reimmissione. Calcolare la probabilità  che entrambe le palline abbiano numeri pari.

Come si procede per la risoluzione?
Sia

l'evento "all'-esima pallina estratta corrisponde un numero pari". Abbiamo, allora:

• [math]A_1[/math]
  : estrazione della prima pallina con numero pari
• [math]A_2[/math]
  : estrazione della seconda pallina con numero pari

Si vuole calcolare .

Dato che inizialmente ci sono tanti numeri pari quanti numeri dispari, per il primo evento la probabilità è al 50%:

numeri pari e numeri dispari sono tutti equiprobabili.
La probabilità che esca ancora una pallina con numero pari, dopo l’estrazione della prima con numero pari, vale:

Ammesso che la prima estrazione abbia dato una pallina con numeri pari, nell’urna sono rimasti quattro numeri pari, e in totale le palline rimaste sono 9 e non più 10.
Quindi la probabilità dell’evento intersezione è:

Teorema di Bayes

Quando si affronta l’analisi di un fenomeno aleatorio in cui si verifica un certo evento particolare, ci si chiede spesso quale sia la causa che, in termini probabilistici lo ha provocato. Ad esempio se si verifica un aumento del numero di individui in una specie, ci si può chiedere quale ne sia la causa più probabile: la mancanza di un predatore, l’aumento di disponibilità di cibo e di acqua, le condizioni climatiche migliori. In casi come questi si tratta, in sostanza, di calcolare sempre una probabilità condizionata dove però ci sono più “cause” da prendere in considerazione. Il Teorema di Bayes, formulato dal matematico inglese Thomas Bayes, fornisce la formula per calcolare questo tipo di probabilità a partire da uno spazio campionario e considerando una sua partizione in sottoinsiemi costituiti dalle cause.
Sia uno spazio di probabilità , e siano eventi disgiunti tali che .
Dato un evento risulta:

Per ulteriori approfondimenti sulla probabilità condizionata e il teorema di Bayes vedi qua

Applicazione numerica sul teorema di Bayes

Tre urne contengono

[math]10[/math]

palline ciascuna. Le palline nell'urna A sono contrassegnate con i numeri interi che vanno dall'1 al 10, quelle nell'urna B con i numeri che vanno dal 4 al 13, mentre quelle nell'urna C sono numerate dal 6 al 15. Calcolare la probabilità  che si sia scelta l'urna A, sapendo che è stata estratta una pallina contrassegnata con il numero 5.

Indicando con

, , , gli eventi "è stata scelta l'urna A/B/C", rispettivamente," e con l'evento "è stata estratta una pallina contrassegnata con il 5", la probabilità  richiesta vale:

Considerando che l'urna

non contiene palline numerate con la probabilità  da calcolare diventa:

Eventi indipendenti

Due eventi e si dicono indipendenti se e solo se .

Se

e sono indipendenti allora:

cioè il verificarsi di

non dà informazioni sul verificarsi di .
Esempio con il lancio delle monete
Calcolare la probabilità  che lanciando per due volte una moneta (non truccata) si ottenga per due volte testa.
Sia l'evento "all'-esimo lancio è uscita testa", ciò che si vuole calcolare è .
I casi possibili sono quattro:

testa-testa
testa-croce
croce-testa
croce-croce

I casi favorevoli sono solo uno (testa-testa), quindi:

D'altra parte

, quindi di conseguenza gli eventi e sono indipendenti: l'esito del primo lancio non può influenzare l'esito del secondo.