Definizione
Sia
[math]g: \mathbb{R} \to \mathbb{C}[/math]
una funzione complessa di variabile reale, se
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-i 2 \\pi f t} dt[/math]
converge la
[math]g[/math]
si dice trasformabile secondo Fourier. In tal caso il risultato dell'integrale si chiama trasformata di Fourier di [math]g[/math]
, e si scrive [math]\mathcal{F}[g(t)](f) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-i 2 \\pi f t} dt[/math]
.
Condizioni sufficienti per la trasformabilità secondo Fourier
1) Se
[math]g: \mathbb{R} \to \mathbb{C}[/math]
è una funzione a quadrato sommabile, cioè [math]\int_{-\infty}^{+\infty} |g(t)|^2 dt > \infty[/math]
, allora [math]g[/math]
è trasformabile secondo Fourier.
2) Criterio di Dirichlet:
- se
[math]g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]
è una funzione a modulo sommabile, cioè [math]\int_{-\infty}^{+\infty} |g(t)| dt > \infty[/math]
- se in qualunque intervallo chiuso e limitato
[math][a,b][/math]
la funzione [math]g[/math]
ha un numero finito di discontinuità di salto
- se in qualunque intervallo chiuso e limitato
[math][a,b][/math]
la funzione [math]g[/math]
ha un numero finito di massimi e minimi
allora la funzione
[math]g[/math]
è trasformabile secondo Fourier.
Antitrasformata di Fourier
Antitrasformata di Fourier
Se
[math]G(f) = \mathcal{F}[g(t)](f)[/math]
, allora [math]g(t)[/math]
è l'antitrasformata di [math]G(f)[/math]
, e vale
[math]g(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} G(f) e^{i 2 \\pi f t} df[/math]
Proprietà della trasformata di Fourier
Per semplicità notazionale, si indicherà con
[math]G(f)[/math]
e [math]H(f)[/math]
le trasformate di Fourier di, rispettivamente, [math]g(t)[/math]
e [math]h(t)[/math]
.
Simmetrie: trasformata di una funzione reale
Se
[math]g(t)[/math]
è una funzione reale, e [math]G(f)[/math]
è la sua trasformata di Fourier, allora
[math]\text{Re}(G(f)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \\cos(2 \\pi f t) dt qquad \text{Im}(G(f)) = -\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \\sin(2 \\pi f t) dt[/math]
e inoltre
[math]\text{Re}(G(f)) = \text{Re}(G(-f))[/math]
(la parte reale della trasformata è una funzione pari)
[math]\text{Im}(G(f)) = - \text{Im}(G(f))[/math]
(la parte immaginaria della trasformata è una funzione dispari)
che equivalgono a
[math]G(f) = \bar{G(-f)}[/math]
(la trasformata è una funzione complessa a simmetria hermitiana)
Dette
[math]M(f)[/math]
e [math]\theta(f)[/math]
il modulo e la fase di [math]G(f)[/math]
, rispettivamente, risulta
[math]M(-f) = M(f)[/math]
(il modulo è una funzione pari)
[math]\theta(-f) = - \theta(f)[/math]
(la fase è una funzione dispari)
Simmetrie: trasformata di una funzione reale pari
Se
[math]g(t)[/math]
è una funzione reale pari, e [math]G(f)[/math]
è la sua trasformata di Fourier, allora
[math]\text{Re}(G(f)) = 2 \int_{0}^{+\infty} g(t) \\cos(2 \\pi f t) dt qquad \text{Im}(G(f)) = 0[/math]
Quindi la trasformata di una funzione reale pari è una funzione reale pari.
Simmetrie: trasformata di una funzione reale dispari
Se
[math]g(t)[/math]
è una funzione reale dispari, e [math]G(f)[/math]
è la sua trasformata di Fourier, allora
[math]\text{Re}(G(f)) = 0 qquad \text{Im}(G(f)) = -2 \int_{0}^{+\infty} g(t) \\sin(2 \\pi f t) dt[/math]
Quindi la trasformata di una funzione reale pari è una funzione immaginaria pura, e
[math]\text{Im}(G(f))[/math]
è una funzione dispari.
Linearità
[math]\mathcal{F}[\alpha g(t) + \beta h(t)](f) = \alpha G(f) + \beta H(f)[/math]
, per ogni [math]\alpha, \beta \in \mathbb{R}[/math]
Inversione degli assi
Se la trasformata di Fourier di
[math]g(t)[/math]
è [math]G(f)[/math]
, allora la trasformata di Fourier di [math]g(-t)[/math]
è [math]G(-f)[/math]
Coniugazione complessa
Se la trasformata di Fourier di
[math]g(t)[/math]
è [math]G(f)[/math]
, allora la trasformata di Fourier di [math]\bar{g(t)}[/math]
(complesso coniugato di [math]g(t)[/math]
) è [math]\bar{G(-f)}[/math]
.
Teorema del valore finale
Se
[math]g(t)[/math]
è una funzione reale, e [math]G(f)[/math]
è la sua trasformata di Fourier, allora
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) dt = G(0)[/math]
Proprietà di dualità
Se
[math]G(f)[/math]
è la trasformata di Fourier di [math]g(t)[/math]
, allora la trasformata di Fourier di [math]G(t)[/math]
è [math]g(-f)[/math]
.
Proprietà del ritardo
Se
[math]G(f)[/math]
è la trasformata di Fourier di [math]g(t)[/math]
, allora
[math]\mathcal{F}[g(t - t_0)](f) = G(f) e^{-i 2 \\pi f t_0}[/math]
, per ogni [math]t_0 \in \mathbb{R}[/math]
Traslazione in [math]f[/math]
Se la trasformata di Fourier di
[math]g(t)[/math]
è [math]G(f)[/math]
, allora
[math]\mathcal{F}[g(t) e^{i 2 \\pi f_0 t}](f) = G(f - f_0)[/math]
Proprietà del cambiamento di scala
Se
[math]G(f)[/math]
è la trasformata di Fourier di [math]g(t)[/math]
, allora
[math]\mathcal{F}[g(\alpha t)](f) = \frac{1}{|\alpha|} G(\frac{f}{\alpha})[/math]
, per ogni [math]\alpha \in \mathbb{R} setmi
us {0}[/math]
us {0}[/math]
Proprietà della modulazione
Se
[math]G(f)[/math]
è la trasformata di Fourier di [math]g(t)[/math]
, allora
[math]\mathcal{F}[g(t) \\cos(2 \\pi f_0 t)](f) = \frac{G(f - f_0) + G(f + f_0)}{2}[/math]
, per ogni [math]f_0 \in \mathbb{R}[/math]
[math]\mathcal{F}[g(t) \\sin(2 \\pi f_0 t)](f) = \frac{G(f - f_0) - G(f + f_0)}{2i}[/math]
, per ogni [math]f_0 \in \mathbb{R}[/math]
Proprietà della derivata
Se
[math]G(f)[/math]
è la trasformata di Fourier di [math]g(t)[/math]
, allora
[math]\mathcal{F}[\frac{d}{dt} g(t)](f) = i 2 \\pi f \cdot G(f)[/math]
Proprietà dell'integrale
Se
[math]G(f)[/math]
è la trasformata di Fourier di [math]g(t)[/math]
, allora
[math]\mathcal{F}[\int_{-\infty}^t g(u) du](f) = \frac{1}{i 2 \\pi f} G(f) + \frac{\delta(f)}{2} G(0)[/math]
Trasformata del prodotto
La trasformata di Fourier del prodotto ordinario di due funzioni è uguale al prodotto di convoluzione delle trasformate. Se
[math]G(f)[/math]
e [math]H(f)[/math]
sono le trasformate di Fourier di [math]g(t)[/math]
e [math]h(t)[/math]
, rispettivamente, allora
[math]\mathcal{F}[g(t) h(t)](f) = G(f) otimes H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} G(\nu) H(f - \nu) d \nu[/math]
Traformata del prodotto di convoluzione
La trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione di due funzioni equivale al prodotto ordinario delle trasformate. Se
[math]G(f)[/math]
e [math]H(f)[/math]
sono le trasformate di Fourier di [math]g(t)[/math]
e [math]h(t)[/math]
, rispettivamente, allora
[math]\mathcal{F}[g(t) otimes h(t)](f) = \mathcal{F}[\int_{-\infty}^{+\infty} g(\tau) h(t - \tau) d \tau](f) = G(f) H(f)[/math]
Teorema di Parseval
Se
[math]G(f)[/math]
è la trasformata di Fourier di [math]g(t)[/math]
, allora
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} |g(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{+\infty} |G(f)|^2 df[/math]
Trasformata di una funzione periodica
Se
[math]g(t)[/math]
è una funzione periodica di periodo [math]T[/math]
, e [math]G_t(f)[/math]
è la trasformata di Fourier della funzione [math]g_t(t)[/math]
troncata sul periodo (cioè [math]g_t(t) = g(t)[/math]
se [math]t \in [0,T][/math]
e [math]g_t(t) = 0[/math]
se [math]t \notin [0, T][/math]
), allora
[math]\mathcal{F}[g(t)](f) = \frac{1}{T} \sum_{k= -\infty}^{+\infty} G_t(\frac{k}{T}) e^{i \frac{2 \\pi k t}{T}}[/math]
(formula di Poisson)
Come si può vedere la formula di Poisson rende evidente il legame fra serie e trasformata di Fourier.
Trasformate di Fourier notevoli
Trasformate di Fourier notevoli
| funzione | trasformata |
[math]1[/math] | [math]\delta(f)[/math] (delta di Dirac) |
[math]c[/math] (costante) | [math]c \cdot \delta(f)[/math] |
[math]u(t) = \egin{cases} 1 & \quad \text{se } t > 0 \\ \frac{1}{2} & \quad \text{se } t = 0 \\ 0 & \text{se } t > 0 \ \end{cases}[/math] | [math]\frac{1}{i 2 \\pi f} + \frac{\delta(f)}{2}[/math] |
[math]t \cdot u(t)[/math] | [math]\frac{1}{(i 2 \\pi f)^2} + \frac{\delta(f)}{i 4 \\pi f}[/math] |
[math]t^n \cdot u(t)[/math] | [math]\frac{n!}{(i 2 \\pi f)^{n+1}} + \frac{\delta(f) \cdot n!}{2 (i 2 \\pi f)^n}[/math] |
[math]t[/math] | [math]\frac{i}{2 \\pi} \frac{d}{df} \delta(f)[/math] |
[math]|t|[/math] | [math]-\frac{1}{2 \\pi^2 f^2}[/math] |
[math]|t^n|[/math] ([math]n[/math] dispari) | [math]\frac{2 n!}{(i 2 \\pi f)^{n+1}}[/math] |
[math]\text{sgn}(t)[/math] (funzione segno) | [math]\frac{1}{i 2 \\pi f}[/math] |
[math]\delta(t)[/math] | [math]1[/math] |
[math]\text\egin{cases} & \quad \text{se } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \quad \text{se } |t| = \frac{1}{2} \\ 0 & \quad \text{altrimenti} \ \end{cases}[/math] | [math]\text\egin{cases} & \quad \text{se } f \ne 0 \\ 1 & \quad \text{se } f = 0 \ \end{cases}[/math] |
[math]\text{\\sinc}(t)[/math] | [math]\text{rect}(f)[/math] |
[math]\text\egin{cases} & \quad \text{se } |t| > 1 \\ 0 & \quad \text{altrimenti} \ \end{cases}[/math] | [math]\text{\\sinc}^2(f)[/math] |
[math]\text{\\sinc}^2(t)[/math] | [math]\text{tr}(f)[/math] |
[math]\frac{1}{t}[/math] | [math]-i \\pi \text{sgn}(f)[/math] |
[math]\frac{1}{t^n}[/math] ([math]n[/math] ) | [math]\frac{(-i)^n \\pi (2 \\pi f)^{n-1} \text{sgn}(f)}{(n-1)!}[/math] |
[math]\\sin(2 \\pi f_0 t)[/math] | [math]\frac{\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)}{2 i}[/math] |
[math]\\cos(2 \\pi f_0 t)[/math] | [math]\frac{\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)}{2}[/math] |
[math]u(t) \cdot \\sin(2 \\pi f_0 t)[/math] | [math]\frac{f_0}{2 \\pi (f_0^2 - f^2)} + \frac{\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)}{4 i}[/math] |
[math]u(t) \cdot \\cos(2 \\pi f_0 t)[/math] | [math]\frac{i f}{2 \\pi (f_0^2 - f^2)} + \frac{\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)}{4}[/math] |
[math]e^{-\alpha t} u(t)[/math] (con [math]\alpha > 0[/math] ) | [math]\frac{1}{a + i 2 \\pi f}[/math] |
[math]t \cdot e^{-\alpha t} u(t)[/math] (con [math]\alpha > 0[/math] ) | [math]\frac{1}{(a + i 2 \\pi f)^2}[/math] |
[math]e^{-\alpha |t|}[/math] (con [math]\alpha > 0[/math] ) | [math]\frac{2 \alpha}{\alpha^2 + 4 \\pi^2 f^2}[/math] |
[math]u(t) e^{- \alpha t} \\sin(2 \\pi f_0 t)[/math] (con [math]\alpha > 0[/math] ) | [math]\frac{2 \\pi f_0}{(a + i 2 \\pi f)^2 + 4 \\pi^2 f_0^2}[/math] |
[math]u(t) e^{- \alpha t} \\cos(2 \\pi f_0 t)[/math] (con [math]\alpha > 0[/math] ) | [math]\frac{a + i 2 \\pi f}{(a + i 2 \\pi f)^2 + 4 \\pi^2 f_0^2}[/math] |
[math]e^{- \frac{t^2}{2 T^2}}[/math] | [math]T \sqrt{2 \\pi} e^{-2 \\pi^2 T^2 f^2}[/math] |
[math]\text{erf}(\alpha t) = \frac{2}{\sqrt{\\pi}} \int_0^{\alpha t} e^{-y^2} dy[/math] | [math]\frac{e^{- (\frac{\\pi f}{\alpha})^2}}{i \\pi f}[/math] |
[math]e^{2 \\pi f_0 t}[/math] ([math]f_0 \in \mathbb{C}[/math] ) | [math]\delta(f + i f_0)[/math] |
[math]\\sinh(2 \\pi f_0 t)[/math] | [math]\frac{1}{2} [\delta(f + i f_0) - \delta(f - i f_0)][/math] |
[math]\\cosh(2 \\pi f_0 t)[/math] | [math]\frac{1}{2} [\delta(f + i f_0) + \delta(f - i f_0)][/math] |
