Come si costruisce l'insieme dei numeri reali?

Che io sappia no.

ma la costruzione di Dedekind è quella che afferma che la coppia di partizioni di $QQ$(con certe proprietà,che ora non ricordo) è un numero reale è che l'insieme di queste coppie è $RR$?

Si, prevede il passaggio al quoziente anche la definizione alla Dedekind, diverse coppie di classi contigue possono fornirti lo stesso numero reale. Ti faccio osservare che anche il passaggio da $\mathbb Z$ a $\mathbb Q$ prevede un quoziente (frazioni equivalenti sono lo stesso numero razionale). Si tratta solo di un fatto tecnico pero'.

quindi non devo vedere le classi di equivalenza come una specie di mostro della teoria degli insiemi?

Si, prevede il passaggio al quoziente anche la definizione alla Dedekind, diverse coppie di classi contigue possono fornirti lo stesso numero reale.

Mi sembra aver perso qualcosa.

Si, ma e' solo un fatto tecnico come dicevo: il problema sta solo nella corretta definizione di classi contigue, devi fare una scelta su $<$ o $\le$ quando la classe origina un razionale.

Ah ok.

quindi non devo vedere le classi di equivalenza come una specie di mostro della teoria degli insiemi?

Un anello quoziente è, dal punto di vista insiemistico, una partizione dell'anello di partenza le cui classi di equivalenza sono definite in un certo modo. Le classi di equivalenza sono usate ovunque.

grazie del chiarimento.