criteri di similitudine

Buonasera sto svolgendo
Siano dati due triangoli rettangoli simili. Se il primo ha cateti di lunghezza 3 e 4 cm, e il secondo ha area pari al quadruplo dell'area del primo, qual è la lunghezza dell'ipotenusa del secondo triangolo? [risposte: a) 10 cm; b) 5 cm; c) 20 cm; d) 16 cm; e) 12 cm]
"
Risoluzione:Indicando con "A1" ed "i1" l'area e l'ipotenusa del primo triangolo e con "A2" ed "i2" l'area e l'ipotenusa del secondo triangolo, si può quindi scrivere la seguente relazione:

$A_1/A_2=(i_1/i_2)^2$"
Questo è quello che vuene riportato sulle solouzioni ora la mia domanda è: questa relazione im base a quale criterio di similitudine si può scrivere? Vale solo per l'ipotenusa? Se mi avesse chiesto un cateto invece dell'ipotenusa avrei potuto scrivere
A1/A2= cateto1/cateto2 elevato al quadrato?
Grazie

Te l'ho ha detto che sono simili quindi $l_2=k*l_1$, il resto vien da sé ...

$l_2$ può essere amche un cateto?

Scusami, hai mai letto qualcosa riguardo al concetto di "similitudine" ? Parrebbe di no ...
Se stai facendo esercizi a riguardo di figure simili, la "primissima" nozione da sapere è quella, che viene prima ancora dei criteri di similitudine ...

Ho appena letto su un sito una pagina sui "criteri di similitudine" ma evidentemente non ho capito nulla

Non sui "criteri" ma sul concetto di similitudine ...

Parlando a braccio, secondo te quando due triangoli sono simili? Quando hanno la stesa forma (ma proprio la stessa) ... questo vuol dire che se, per esempio, ho un triangolo rettangolo di lati $3,4,5$, un triangolo simile a questo sarà un triangolo rettangolo con i lati lunghi il doppio ... se uno di essi non fosse doppio del corrispondente allora il triangolo risultante non sarebbe più rettangolo e quindi neanche simile ...
Da qui la "formuletta" di prima che forse è meglio scrivere così $L/l=k$ ovvero il rapporto tra lati corrispondenti è costante.
"Lati corrispondenti" non vuol dire altro che il più piccolo con il più piccolo, il più grande con il più grande, quello di mezzo con quello di mezzo (com'è ovvio che sia ... )

Cordialmente, Alex

P.S.: "ho appena letto su un sito" ... ma un libro (basterebbe uno delle medie peraltro) non ce l'hai?

Grazie mille sapevo che simili significa proporzionali...ma non capivo perché si dovesse elevare l'ipotenusa al quadrato. Non bastava scrivere il rapporto tra le ipotenuse senza il quadrato?
P.s. il libro delle medie chissà che fine abbia fatto oramai alla mia età queste cose avrei dovuto già saperle sicuramente non le trovo nei libri universitari che parlano solo di derivate ed integrali

... Non bastava scrivere il rapporto tra le ipotenuse senza il quadrato? ...

Dopo quanto ho scritto, a questa domanda dovresti rispondere da sola anzi sforzati di farlo ...
Per rendere le cose più semplici invece dei triangoli pensa ai quadrati: se hai un quadrato di lato $l$ e area $A$ come sarà l'area di un quadrato di lato doppio rispetto all'area del primo? E quella di un quadrato di lato triplo?

L'area di un quadrato di lato doppio sarà quadrupla, di lato triplo sarà nove volte quella del primo però non capisco ancora perché allora non posso scrivere la relazione senza elevare al quadrto l'ipotenusa, perché proprio al quadrato mica l'area raddoppia? L'area quadriplica?

Se il rapporto tra i lati di due quadrati è $k=L/l$ allora il rapporto tra le due aree sarà $A/a=L^2/l^2=(L/l)^2=k^2$

Quindi, in generale, se il rapporto tra i lati di una figura è $k$, il rapporto tra le aree è $k^2$