Problema su triangoli qualsiasi

Ho questo problema: è data la semicirconferenza di diametro $AB=2$. All'esterno della semicirconferenza costruisci il triangolo rettangolo $ABC$ tale che $A=pi/2$ e $tgB=1/2$. Considerato il punto $P$ sulla semicirconferenza tale che $ABP=x$, esprimi la funzione $f(x)=CP^2$. Rappresenta graficamente la funzione ottenuta e calcola per quale valore di $x$ l'espressione $CP^2$ assume il valore massimo. Ho trovato la funzione che è: $CP^2=4sin^2x+4sinxcosx+1$ anche se il libro lo riporta come $f(x)=2sqrt(2)sin(2x-pi/4)+3$, probabilmente è stato applicato il metodo dell'angolo aggiunto. Comunque le mie diificoltà sono: non so come procedere per ricavare il massimo non capisco perchè $0<=x<=pi/2$, se l'angolo fosse $0$ o $pi/2$, il triangolo degenererebbe in un segmento, o no? Potreste aiutarmi per favore?

L'angolo $x$ e' tale che $0\leq x leq \pi/2$ perche' quando $P$ si sovrappone a $B$ l'angolo e' appunto $\pi/2$ radianti (immagina di avvicinarti a $B$ - l'angolo $x$ va dunque crescendo e si avvicina a $\pi/2$). Invece quando $P$ si avvicina ad $A$ va avvicinandosi al valore di $0$ radianti che appunto assume quando $P$ e' sovrapposto ad $A$.

A questo punto bisogna studiare la funzione $f(x)=2\sqrt{2}\sin(2x-\pi/4)+3$ e vedere quando questa funzione raggiunge un massimo. Ma e' ovvio che, essendo la funzione somma di due termini, il massimo lo raggiunge quando $\sin(2x-\pi/4)$ e' massimo.

Per comprendere quali estremi dell'intervallo includere, è necessario svolgere esplicitamente i due casi limite:

Caso limite 1

$[x=0] rarr [bar(CP)=bar(CA)=1]$

Caso limite 2

$[x=\pi/2] rarr [bar(CP)=bar(CB)=sqrt5]$

Poichè, in entrambi i casi, la lunghezza del segmento $bar(CP)$ non tende all'infinito, anche nel caso in cui una figura degeneri, i manuali sono soliti includerli.

Potrebbe spiegarmi come si è arrivati alla forma: $2sqrt(2)sin(2x-pi/4)+3$

Passo 1

$bar(CP)^2=bar(AC)^2+bar(AP)^2-2*bar(AC)*bar(AP)*cosx rarr$

$rarr bar(CP)^2=1+4sin^2x-4cosxsinx$

Passo 2

$[sin^2x=1/2-1/2cos2x] ^^ [cosxsinx=1/2sin2x] rarr$

$rarr bar(CP)^2=3-2cos2x-2sin2x rarr$

$rarr bar(CP)^2=3-2sqrt2(sqrt2/2cos2x-sqrt2/2sin2x) rarr$

$rarr bar(CP)^2=3+2sqrt2sin(2x-\pi/4)$

Passo 3

$[0 lt= x lt= \pi/2] rarr [0 lt= 2x lt= \pi] rarr [-\pi/4 lt= 2x-\pi/4 lt= 3/4\pi]$

Poichè:

$-\pi/4 lt= \pi/2 lt= 3/4\pi$

il massimo si ha quando:

$[2x-\pi/4=\pi/2] ^^ [sin(2x-\pi/4)=1] rarr [x=3/8\pi]$

Grazie mille per le chiarissime spiegazioni, davvero gentile, buona giornata!