10/10/2019, 21:55
Morale: se precomponi con una funzione periodica, la composta risulta anch'essa periodica (occhio, la minimalità non è garantita...)
10/10/2019, 22:02
BayMax ha scritto:@alessio76,
mi aiuteresti gentilmente col formalismo giusto ?Morale: se precomponi con una funzione periodica, la composta risulta anch'essa periodica (occhio, la minimalità non è garantita...)
Intendi che il periodo $T$ della funzione interna risulta anche periodo $T$ della composta, ma non è il periodo minimo ? Nel senso che la funzione composta potrebbe avere periodo $T_(comp)<T$ o, in generale, che $T_(comp)<=T$ ? Se intendi questo, da cosa lo vedo nella dimostrazione ?
Ah e ovviamente sempre grazie della gentilezza, tempo e disponibilità
10/10/2019, 22:39
tali che $AA x in D$ di $f(x)$ si abbia $f(x) in D$ di $g$ essendo D il dominio
10/10/2019, 23:10
BayMax ha scritto:… in realtà non credo sia necessario che l'intera immagine di $f$ debba appartenere al dominio di $g$ …
11/10/2019, 08:32
BayMax ha scritto:@alessio76
Proviamo un po' di formalismo, va. Anche se, vista l'ora, non ti garantisco nulla . Ma chi voglio prendere in giro, è una scusa, come ha detto anche axpgn .
Allora scriverei così: Siano $f$ e $g$ due funzioni in $R$, tali che $AA x in D$ di $f(x)$ si abbia $f(x) in D$ di $g$ essendo D il dominio. Supponiamo che $f$ sia periodica di periodo $T$ in modo che sia $f(x+kT)=f(x) AA k in Z$. Allora $g\circf=g(f(x))=g(f(x+kT)) AA k in Z$, dalla quale si deduce che $g\circf$ è anch'essa periodica di periodo $T$ per definizione di funzione periodica.
Va un po' meglio ?
Ho anche dei dubbi partetali che $AA x in D$ di $f(x)$ si abbia $f(x) in D$ di $g$ essendo D il dominio
in realtà non credo sia necessario che l'intera immagine di $f$ debba appartenere al dominio di $g$; potrei dire che la dimostrazione è valida solo $AA x in D(f) t.c. f(x) in D(g)$.
Per quanto riguarda la funzione costante, bella domanda . La mia dimostrazione non funziona, proprio perché essa "ha periodo" qualunque numero reale (direi così, ammettendo che si possa definire un periodo per una funzione costante).Quindi, o nella mia dimostrazione suppongo $g\ne(costante)$, oppure posso solo concludere che $T_(g\circf)<=T_f$ oppure... non saprei
Cosa ne pensi ?
$f$ e $g$ due funzioni in $R$
...$f(x) in D$ di $g$...
in realtà non credo sia necessario che l'intera immagine di $f$ debba appartenere al dominio di $g$1
Supponiamo che $f$ sia periodica di periodo $T$ in modo che sia $f(x+kT)=f(x) AA k in Z$
Per quanto riguarda la funzione costante, bella domanda . La mia dimostrazione non funziona, proprio perché essa "ha periodo" qualunque numero reale (direi così, ammettendo che si possa definire un periodo per una funzione costante).
eAllora $g\circf=g(f(x))=g(f(x+kT)) AA k in Z$
$AA x in D$ di $f(x)$
non va bene: $f$ è il nome della funzione (formalmente è l'insieme di tutte le coppie ordinate $(t; f(t))$...cioè, il grafico, o, a seconda del contesto più o meno formale, la terna ordinata: dominio, codominio, grafico..), invece $f(x)$ è, nel tuo caso, un (semplice) numero: il valore che la funzione $f$ assegna all'elemento $x$ (ancorché generico). Quindi: "dominio di $f$", non "dominio di $f(x)$"; e "$(g\circ f)(x)=g(f(x))$", ok, "$g\circ f=g(f(x))$", no.$g\circf=g(f(x))$
12/10/2019, 15:26
f e g due funzioni in R
Vuoi dire che i domini di f e g sono sottoinsiemi di R o che hanno esattamente dominio R?
nel primo caso: "funzioni di variabile reale" è un'espressione adatta, sufficientemente vaga, compatta, non impegna; nel secondo basta dire "di dominio R" oppure definite su (tutto) R.
Supponiamo che f sia periodica di periodo T in modo che sia f(x+kT)=f(x)∀k∈Z
Così avresti che esiste uno specifico x per cui il valore di f su di esso coincide col valore di f sui punti che distano da lui per un multiplo intero di T, che non è quello che si intende con "funzione di periodo T", hai sbagliato la quantificazione, il punto è:
(*) f(x+T)=f(x)∀x∈Df2
Ma evidentemente, se T è IL periodo di f non si può concludere (non sempre) che T sia anche IL periodo della composizione g∘f. Non che sia un dramma, d'altra parte, no? La cosa invece vale, per esempio, se g è iniettiva sull'immagine di f...
"(g∘f)(x)=g(f(x))"
12/10/2019, 16:11
Chiedo scusa se rispondo solo ora.
ho dimenticato il $AA x in R$; scrivere quello che ho scritto io, senza specificare la quantificazione, vuol dire riferirsi ad un solo valore di x specifico e non a tutti gli x.
Qui intendi che non si può concludere che IL periodo sia T in quanto non è detto che sia IL MINIMO PERIODO ? Ma un periodo qualsiasi, dico bene ?
Sul fatto che la cosa invece valga per l'iniettività di g, perché questo è vero ? E comunque non parliamo più di g costante, giusto ? In quanto una funzione costante non è iniettiva. Qui intendi che non si può concludere che IL periodo sia T in quanto non è detto che sia IL MINIMO PERIODO ? Ma un periodo qualsiasi, dico bene ?
Sul fatto che la cosa invece valga per l'iniettività di g, perché questo è vero ? E comunque non parliamo più di g costante, giusto ? In quanto una funzione costante non è iniettiva.
Su qualche testo, però, ho anche trovato scritto $g\circf(x)=g(f(x))$, senza la prima parentesi. E' ugualmente corretto ?
12/10/2019, 19:40
Sei uno studente delle superiori, giusto?
una condizione sufficiente affinché g∘f abbia lo stesso periodo (quello "minimo") di f è che la funzione esterna g sia iniettiva sull'immagine della funzione interna f
13/10/2019, 16:59
BayMax ha scritto:In realtà le superiori le ho finite da un pezzo e ho anche seguito corsi di analisi universitari , tuttavia, poiché mi piace la matematica, torno spesso su argomenti trattati tempo addietro per approfondirli sempre di più e tentare di capire il più possibile (talvolta ad un livello patologicamente eccessivo, cosa che mi ha fatto perdere tempo anche all'università). Ma nelle spiegazioni considerami anche uno studente delle superiori, non mi offendo affatto, anzi, più la spiegazione è semplice, più rimane impressa
BayMax ha scritto:una condizione sufficiente affinché g∘f abbia lo stesso periodo (quello "minimo") di f è che la funzione esterna g sia iniettiva sull'immagine della funzione interna f
Di questa proprietà ci sarebbe una dimostrazione generica ? Il tuo esempio è chiaro, tuttavia rimane un caso particolare che non permette, da solo, l'estensione ad ogni funzione iniettiva (o restrizione iniettiva).
15/10/2019, 19:00
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