Quando devo utilizzare i sistemi per disequazioni?

Salve a tutti, ho un esame da dare, ma essendo carente della primissima parte di matematica vi chiedo un aiuto. Non ho ben capito quando si devono creare 2 sistemi per la risoluzione di una disequazione o equazione.
Mi sono capitati casi infatti che serva la dicitura di 2 sistemi del tipo 'sistema1' V 'sistema2'
con quindi delle condizioni diverse.
Se potete spiegarmi i casi cui devo certamente risolvere con 2 sistemi di condizioni vi sarei molto grato!
Grazie!

Quando è necessario.

Ad esempio, quando trovi dei valori assoluti oppure delle radici.

Si ma quindi, quando è necessario?

Per esempio nel caso: (x)^(1/3) <= x
si vengono a formare 2 sistemi, ma perchè? Qualcuno sa gentilmente spiegarmi questo esempio?
Purtroppo ho esame fra 2 giorni, so alla perfezione analisi 2 ma argomenti basic come questo mi sono ostici, sembra una barzelletta.

In particolare con le disequazioni irrazionali, vedi
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Disequa ... rrazionale

O con i valori assoluti
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Disequa ... e_assoluto

C'è un caso in particolare che non ho capito perchè bisogna eseguirlo con 2 sistemi, se qualcuno può spiegarmi il perchè sarei molto grato.
Il caso è: x(1 - e^(-x) ) >0

Questo non è una disequazione fratta, non ha valori assoluti e neanche radici, come mai dovrei risolverlo con 2 sistemi?

Per esempio nel caso: (x)^(1/3) <= x
si vengono a formare 2 sistemi, ma perchè? Qualcuno sa gentilmente spiegarmi questo esempio?
Purtroppo ho esame fra 2 giorni, so alla perfezione analisi 2 ma argomenti basic come questo mi sono ostici, sembra una barzelletta.

Sei uno studente universitario?

Nel caso tu lo sia, cerco di darti una risposta un po' più complessa/geometrica. Quando usi un sistema per risolvere qualcosa, stai definendo lo spazio come intersezioni di zeri/curve di livello di particolari funzioni (a uno o più variabili). Il problema, è che analizzare questi zeri per alcune di queste funzioni può essere complicato e quindi è spesso utile cercare di riportarti a situazioni che sai gestire. In alcuni casi, questa semplificazione consiste nel dividere il dominio del sistema in parti ed analizzare le soluzioni in queste parti. Quando lo fai, stai "usando più sistemi". Seppur esistano casi in cui è usuale e appropriato farlo, puoi farlo quando ti pare.

C'è un caso in particolare che non ho capito perchè bisogna eseguirlo con 2 sistemi, se qualcuno può spiegarmi il perchè sarei molto grato.
Il caso è: x(1 - e^(-x) ) >0

Questo non è una disequazione fratta, non ha valori assoluti e neanche radici, come mai dovrei risolverlo con 2 sistemi?

Per prima cosa, non si tratta di un sistema ma di una disequazione.

Non c'è infatti alcuna ragione per cui dovresti farlo: è il prodotto di due funzioni continue monotone crescenti che "partono" a \(-\infty\) e "finiscono" a \(+\infty\) ed entrambe cambiano segno in 0. I segni delle due funzioni coicidono quindi banalmente su tutta la retta reale (il segno coincide ovunque, ma lo zero va ovviamente eliminato dalle soluzioni).

Detto questo, quando una disequazione è espressa come prodotto di due funzioni \(f\) e \(g\) è usuale analizzare i segni delle due funzioni singolarmente e poi cercare dove coincidono. Stessa cosa per la divisione.

Va bene grazie ora ho capito!