base algebrica

Sera a tutti,

Mi rendo conto di fare una domanda assai stupida e semplice, tuttavia non ho mai trattato questo argomento in modo abbastanza soddisfacente nel mio percorso di studi superiori. Non ho trovato nei miei libri dell'università una risposta, appunto perché argomento base.

Come da titolo ho un dubbio sull'algoritmo che porta alla trasformazione da base decimale a binaria (ad esempio). Se volessi trasformare la parte intera proseguendo con divisioni successive e pensandola come diversione di oggetti in "pacchetti" via via più grandi anche intuitivamente vedo che i resti definiscono il numero posizionale ecc.

Mi resta però intuitivamente e formalmente ignoto perché i decimali vadano moltiplicati per 2, e si tiene la parte intera del decimale moltiplicata come "decimale" in base binaria. Con divisione in pacchetti (intuitiva) è impossibile, qualcuno mi aiuterebbe, per. Favore, a chiarirmi le idee?

Scusate la domanda stupida e grazie

Non si capisce cosa stai chiedendo e, beh, comunque questa è una domanda da Secondaria...

Moderatore: gugo82

Sposto.

Comunque, per spiegare come mai siano i resti a diventare le cifre di un numero non è che ci voglia più dell'Algebra delle medie e della Matematica delle elementari.
Predi un numero $x>0$ e dividilo per $2$: ottieni un quoziente $q_0\in NN$ ed un resto $r_0\in \{0,1\}$ tali che:

$x = q_0* 2 + r_0$;

se $q_0 > 0$, dividilo per $2$: ottieni un nuovo quoziente $q_1\in \NN$ ed un $r_1 \in \{ 0,1\}$ tali che:

$q_0=q_1*2+r_1\ =>\ x = q_1*2^2 + r_1*2 + r_1$;

analogamente, se $q_1>0$, dividilo per $2$: in tal modo ottieni un nuovo quoziente $q_2\in NN$ ed un nuovo $r_2 in \{ 0,1\}$ tali che:

$q_1=q_2*2+r_2\ =>\ x = q_2*2^3 + r_2*2^2 + r_1*2 + r_0$...

Dopo un certo numero $n$ di passaggi, dividendo $q_(n-1)$ per $2$ ottieni certamente un quoziente $q_n = 0$ e resto $r_n in \{ 0,1 \}$, tali che:

$q_(n-1) = r_n\ =>\ x = r_n2^n + r_(n-1)*2^(n-1)+... +r_1 2 + r_0$

dunque la stringa $r_nr_(n-1)...r_2r_1r_0$ rappresenta $x$ in base $2$, i.e. $x=(r_nr_(n-1)...r_2r_1r_0)_2$.

Chiedo venia per l'errore della sezione e ti ringrazio per la risposta. In realtà quello mi interessava capire era l'algoritmo per i decimali. QUello che riporti mi è chiaro..

La parte decimale del numero (ovvero 0,06125) deve invece essere sottoposta a moltiplicazioni successive per due. Il risultato di ciascun prodotto va scomposto in due parti: la parte intera (0 oppure 1) costituisce la cifra in binario risultante mentre la parte decimale rappresenta il valore da moltiplicare per due nella moltiplicazione successiva.
Il procedimento termina quando una moltiplicazione dà come risultato precisamente 1 o non terminare mai.

Perché in teoria dovresti portarlo in frazione, vedresti subito il motivo della moltiplicazione per 2. Pensa a $0,5=1/2$

Ti ringrazio perché ora mi è intuitivamente chiaro. Però mi piacerebbe cercare di formalizzarlo come per il caso intero (come aveva fatto gugo) solo che peri decimali non riesco a capire come estendere la cosa ad un n-esima iterazione.

Ma è la stessa cosa, solo che invece di divide per 2, dividi per $1/2=2^(-1)$, cioè moltiplichi per 2.
Nei passi successivi dividerai per $2^(-n)$ cioè moltiplicherai per $2^n$