relazioni di equivalenza e d'ordine

ciao a tutti, ho un dubbio riguardo la riflessività, simmetria, antisimmetria e transitività.
esempio: determinare se la relazione R={(x,y)∈ZxZ tale che xy≤0 } è riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, d'ordine e di equivalenza.
il ragionamento che ho fatto è che:
-riflessiva: (def: ∀a∈Z aRa) in questo caso però solamente se assegniamo a x il valore 0 la relazione è riflessiva perchè 0x0≤0. ma non vale per tutte le x appartenenti a Z giusto? quindi non è riflessiva
-simmetria: (def: se aRb allora bRa) è simmetrica per la proprietà commutativa, cioè xy≤0 implica yx≤0
-antisimmetria: (def: se aRb e bRa allora a=b) non è antisimmetrica perchè x non può essere uguale a y in quanto il risultato deve essere negativo, moltiplicando due numeri negativi si ottiene un numero positivo, ed anche moltiplicando due numeri positivi
-transitività: (se aRb e bRc allora aRc) ho pensato che se xy≤0 e yz≤0 allora xz≤0
vi prego aiutatemi

Come hai detto non è riflessiva, perché vale per un solo valore cioè 0.
Non è antisimmetrica perché, come hai detto giustamente, è simmetrica.

Per la transitiva: se $xy<=0$ e $yz<=0$ significa che x e y hanno segno diverso, ma anche y e z hanno segno diverso, quindi x e z hanno lo stesso segno per cui $xz>=0$. Non vale la proprietà transitiva.