Definizione di assioma di completezza

Salve, più che aiuto con un'esercizio avrei bisogno di un chiarimento sulla definizione di assioma di completezza se possibile. La definizione che ho sul libro non combacia con quella che ho trovato cercando un po' su internet, questo mi ha causato confusione.

Definizione libro
Si definisce sezione di $RR$ una coppia \((A,B)\) di sottoinsiemi non vuoti di $RR$ tali che

\(\bullet\ A \cup B = R, A \cap B = \emptyset\);
\(\bullet\) se \(a \in A\) e \(b \in B\) allora \(a \leq b\).

Le proprietà elencate finora sono verificate anche dall'insieme $QQ$ dei numeri razionali.
Quello che caratterizza $RR$ rispetto a $QQ$ è la proprietà di completezza (o di continuità):

\(\bullet\) completezza

Per ogni sezione \((A,B)\) di $RR$ esiste uno ed un solo numero reale $RR$ tale che, per ogni \(a \in A\) e per ogni \(b \in B\)
vale \(a \leq l \leq b\). Il numero \(l\) è detto elemento separatore di $A$ e di $B$.

Definizione trovata su internet
Se \(A\) e \(B\) sono due sottoinsiemi non vuoti dell'insieme $RR$, tali che \(a \leq b\) per ogni \(a \in A\) e per ogni \(b \in B\), allora esiste un elemento $c \in RR$ tale che \[a \leq c \leq b\enspace \text{per ogni}\enspace a \in A\enspace \text{e per ogni}\enspace b \in B\]

L'elemento \(c\) è detto elemento separatore degli insiemi \(A\) e \(B\) e, in generale, non è unico.


Quale sarebbe la definizione corretta? Sono corrette entrambi e cambia il contesto?
Una domanda extra che riguarda la formattazione del testo, come posso scrivere un testo normale quando mi trovo nell'ambiente per scrivere formule?

Ultima modifica di tomato49 il 31/01/2024, 16:46, modificato 1 volta in totale.

Sono equivalenti, prova a dimostrarlo.
Puoi usare \text{}.

Sono equivalenti, prova a dimostrarlo.
Puoi usare \text{}.

Grazie per la risposta, ho provato a dimostrarlo e sono giunto alle mie conclusioni.
Generalmente l'elemento separatore non è unico, questo accade nei casi in cui $A$ è un insieme non vuoto limitato superiormente e $B$ è l'insieme dei maggioranti di $A$, oppure in modo analogo $B$ è un insieme non vuoto limitato inferiormente e $A$ è l'insieme dei minoranti di $B$.
Il libro non è stato chiarissimo su questo punto, ma va bene così, si impara.

Nel caso della definizione trovata su internet, $A$ e $B$ non sono sezioni, quindi l'elemento separatore può essere unico in molti altri casi.