Dubbio esercizio geometria nello spazio

Buongiorno avrei un dubbio col seguente esercizio:

“ verifica che i punti A(1,0,4) B(0,-3,3) C(-1,2,-6) D(1,4,0) sono complanari.”

Volevo chiedere se la mia risoluzione fosse corretta. Io ho imposto che il determinante della matrice seguebte fosse zero.

(xd-xa) (yd-ya) (zd-za)

(xb-xa) (yb-ya) (yd-ya)

(xc-xa) (yc-ya) (zc-za)

imponendo infatti il determinante della matrice sopra uguale zero (mi esce verificato ho provato) non è come dire che i quattro punti sono complanari in quanto giacciano in un parallelepido di volume zero?

L’altro metodo classico ossia calcolare l equazione del piano con i 3 punti e sostituire il quarto per vedere se vi appartenga non mi esce nel momento in cui vado a dividere l equazione del piano per “d” in quanto “d” è proprio zero, quindi il sistema non esce.

Spero possiate schiarirmi il dubbio e dirmi se ho proceduto correttamente

Posto \(P(x,y,z)\), l'equazione cartesiana del piano passante per tre punti \(A,B,C\) non allineati è: \[
(P-A)\cdot[(B-A)\land(C-A)]=0
\] che equivale a scrivere: \[
\det\begin{bmatrix}
x-x_A & y-y_A & z-z_A \\
x_B-x_A & y_B-y_A & z_B-z_A \\
x_C-x_A & y_C-y_A & z_C-z_A \\
\end{bmatrix}=0
\] e che nel caso in esame porta a: \[
4x-y-z=0.
\] Quindi, se \(D\) verifica tale equazione allora \(A,B,C,D\) sono complanari, altrimenti non lo sono.

Quello che hai fatto tu, è sostituire da subito \(P=D\), pertanto arriverai alla stessa conclusione.

Ultima modifica di sellacollesella il 14/04/2024, 08:53, modificato 1 volta in totale.

Esattamente con l’unica differenza che non arrivo a un’equazione ma direttamente all’ identitá 0=0.
Quindi va bene?

Sostituendo subito \(P=D\) non devi imporre un'equazione, bensì devi solo vedere che ti esce, se risulta \(0\) sono complanari, altrimenti non lo sono. Io farei sempre il passaggio intermedio trovando l'equazione del piano, lo trovo molto più chiaro.

Ma se ho scritto la matrice bene (post iniziale) non ho incognite all’interno in quanto io conosco le coordinate del quarto punto (ossia D) rispetto a P che metti tu nella prima riga, quindi nel mio caso anche la prima riga è fatta da numeri

Sostituendo subito \(P=D\) non devi imporre un'equazione, bensì devi solo vedere che ti esce, se risulta \(0\) sono complanari, altrimenti non lo sono. Io farei sempre il passaggio intermedio trovando l'equazione del piano, lo trovo molto più chiaro.

Ok grazie!