Applicando la definizione di valore assoluto, si ha: \[
\left|x+\left|x^2-4\right|\right|\ge -x
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
-2<x<2\\
\left|x-x^2+4\right|\ge -x
\end{cases}
\quad\cup\quad
\begin{cases}
x\le -2\,\vee\,x\ge 2\\
\left|x+x^2-4\right|\ge -x
\end{cases}.
\]
Quindi, replicando tutto ciò nel primo caso, si ha: \[
\left|x-x^2+4\right|\ge -x
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
x<\frac{1-\sqrt{17}}{2}\,\vee\,x>\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\
-x+x^2-4\ge -x
\end{cases}
\quad\cup\quad
\begin{cases}
\frac{1-\sqrt{17}}{2}\le x\le\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\
x-x^2+4\ge -x
\end{cases}
\] e intersecando con \(-2<x<2\) la soluzione è \(1-\sqrt{5}\le x<2\).
Quindi, replicando tutto ciò nel secondo caso, si ha: \[
\left|x+x^2-4\right|\ge -x
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\frac{-1-\sqrt{17}}{2}<x<\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\
-x-x^2+4\ge -x
\end{cases}
\quad\cup\quad
\begin{cases}
x\le\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\,\vee\,x\ge\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\
x+x^2-4\ge -x
\end{cases}
\] e intersecando con \(x\le -2\,\vee\,x\ge 2\) la soluzione è \(x\le -1-\sqrt{5}\,\vee\,x=-2\,\vee\,x\ge 2\).
Unendo le soluzioni dei due casi si ottiene la soluzione della disequazione in esame: \[
\boxed{x\le -1-\sqrt{5}\,\vee\,x=-2\,\vee\,x\ge 1-\sqrt{5}\,}
\] Al di là dei calcoli noiosi per via delle radici, si tratta del solito procedimento.