Dubbio teorico su relazione fra continuità e derivabilità

Conosco la dimostrazione tale per cui se esiste la derivata di una funzione f(x) in un punto x0, allora la funzione è continua in x0. Però alcune funzioni a tratti sembrano non rispettare queste condizioni.
Ad esempio la funzione a tratti con x+6 con x>=0 e x con x<0 è chiaramente discontinua in x=0.
Ma la sua derivata destra e la sua derivata sinistra sono entrambe uguali a 1, quindi il limite del rapporto incrementale (ovvero la derivata) esiste finito. Non riesco a trovare un errore in questo ragionamento, né tanto meno (ovviamente) nella dimostrazione per la quale l'esistenza della derivata in un punto implichi la continuità della funzione in quel punto. Chiedendo ai miei professori mi è stato detto che può centrare la definizione di differenziabilità di una funzione R^n-->R, ma la cosa non mi persuade perché sia nella dimostrazione che nella funzione a tratti vengono usate solamente le definizioni di derivata e continuità delle funzione a una variabile che dovrebbero essere consistenti in loro stesse, indipendentemente dalle generalizzazioni di questi concetti in uno spazio R^n. Qualcuno riesce a spiegarmi cosa sbaglio?

Ciao Alessandro251945, benvenuto sul forum!

Il teorema è vero e non c'entrano le funzioni definite a tratti o, come ti hanno detto, le funzioni di più variabili. Affermi che:\[
f(x)=\begin{cases}x+6, && x \ge 0 \\ x, && x <0\end{cases}
\]ha in \(x_0=0\) derivate destra e sinistra \(1\), ma ciò è falso. Sbagli il calcolo della derivata. In particolare, quello che scrivi qui:

Ma la sua derivata destra e la sua derivata sinistra sono entrambe uguali a 1, quindi il limite del rapporto incrementale (ovvero la derivata) esiste finito.

è sospetto. Come calcoli le derivate destra e sinistra in \(x_0=0\)? Riporta i calcoli, così possiamo individuare precisamente dove sono gli errori. Se non sai usare scrivere con le formule sul forum, qui trovi un tutorial.

Hai ragione, sbagliavo il calcolo della derivata. Scrivevo nella derivata sinistra f(0)=0 invece che f(0)=6. Grazie mille per la chiarezza!