Equaz. goniometriche applicate ad esponenziali e logaritmi

Salve,vorrei un vostro aiuto per quanto riguarda le seguenti equazioni:

$log_2cos2x-log_2senx-log_2cosx=1$

Arrivo alla forma:

$cos2x-sen2x=0$

Divido tutto per$cos2x$

$Tg2x=1$

$x=22'50+k90$

Tuttavia il libro riporta il risultato:$x=22'50+k360$

Perchè non mi risulta la periodicità?

Ed un altra:

$e^(tgx)=e^(ctgx)$

Arrivo alla forma finale di $tgx=+-1$ quindi $x=+-45+k180$

Ma il libro riporta:$x=45+k90$

E poi volevo chiedervi un ultimo favore se potesse postarmi o segnalarmi qualche link o esercizio che riguarda sempre le equazioni goniometriche con applicazioni a esponenziali e logaritmi,perchè purtroppo il mio libro ha solo 5 esercizi.

Grazie,

la prima, dalla tua soluzione, devi considerare le condizioni di esistenza del logaritmo, seno e coseno positivi significa che puoi prendere solo angoli del primo quadrante.

la seconda non discorda dalla tua, è solo un modo più semplice per scriverla: prova a vederla anche graficamente.

Ok per la seconda capito.

Per la prima,se ho capito bene,devo farmi la disequazione $senx>0$ e $cosx>0$ e poi mettermi le soluzioni nello stesso grafico?

sì, le condizioni di esistenza vanno sempre a sistema con la "soluzione"

se hai:
$log_2cos2x-log_2sinx-log_2cosx=1$

e arrivi a $tan(2x)=1$,

vuol dire che la soluzione accettabile è data dal sistema:

${[cos2x>0], [sinx>0], [cosx>0], [tan2x=1] :}$