Simmetria della funzione arcotangente

Ciao a tutti

oggi mi trovo davanti ad uno studio di funzione che mi sta dando delle difficoltá.

devo studiare le eventuali simmetrie della funzione

$f(x)= arctg(\frac{2x}{1-x^{2}})$

so che per studiare se un funzione é simmetrica rispetto all'asse y devo vedere se é pari ovvero se $f(x)=f(-x)$

e che per studiare la simmetria rispetto all'origine devo vedere se $f(x)=-f(-x)$

io so giá come si comporta la funzione arcotangente, ma non so come dimostrarlo

partendo dalla simmetria rispetto ad y ho

$f(-x) = arctg(\frac{-2x}{1-(-x)^{2}}) = arctg(-\frac{2x}{1-x^{2}}) $

so dire che $f(-x)$ é diversa da $f(x)$ se faccio delle prove empiriche con dei numeri, ma non so come dimostrarlo, idem per quanto riguarda la simmetria rispetto al centro.

qualcuno potrebbe darmi uno spunto da cui partire? grazie mille

Se continui i tuoi passaggi, trovi che $f(-x) = arctg(\frac{-2x}{1-(-x)^{2}}) = arctg(-\frac{2x}{1-x^{2}}) = -arctg(\frac{2x}{1-x^{2}}) = -f(x)$.
Quindi $f(x)$ è una funzione dispari e il grafico è simmetrico rispetto all'origine.

Ciao,

grazie per la risposta, ma il dubbio nasce proprio li,

come dimostro che il segno mi puó uscire dall'arctg?

Da come è definita la funzione arcotangente: è la funzione inversa della funzione tangente, che pure è dispari, nell'intervallo $(-pi/2, pi/2)$.