Problema trigonometria

Salve, potete aiutarmi a risolvere il seguente problema?

Sia O il circocentro di una triangolo acutangolo ABC di cui BAC=$\alpha$ e OA= a. Sapendo che cos $\alpha$=2/$sqrt(5)$, determinare le ampiezze degli angoli del triangolo in modo che: MN^2+NC^2=k*OB^2 essendo M ed N i punti medi dei due lati BC e AB.

Ho provato: l'angolo MNB=$\alpha$, con il teorema di Carnot ho calcolato il segmento CB=2*a*sin $\alpha$. Poi mi sono bloccata

Questo è invece il disegno che ho fatto..

Comincia col correggere il disegno: il tuo triangolo è ottusangolo in C. Il calcolo di BC è giusto, ma il risultato si otteneva più rapidamente col teorema della corda, dato che su BC insiste l'angolo dato. Per proseguire io ho congiunto O con B, C, M, N; ho notato che $B \hatO M=C \hatO M=alpha$ e ho posto $B \hatO N=x$. Ho ricavato OM e ON dai triangoli rettangoli e poi MN e NC col teorema di Carnot. Non ho completato i calcoli, non molto brevi.

I colcoli sono davvero infiniti! Grazie per il tuo aiuto