[EX] Valori irrazionali di $sin x$ e $cos x$

Ecco un esercizio per voi che potrebbe risultare interessante.

Esercizio:

Dimostrare che entrambi \(\cos 1^\circ \) e \(\sin 1^\circ\) sono numeri irrazionali.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Cominciare dal coseno, procedendo per assurdo (i.e. supponendo \(\cos 1^\circ\) razionale).
Usare la formula di duplicazione per ottenere la razionalità di \(\cos 2^\circ\); fare induzione, usando le formule di prostaferesi per provare che \(2\ \cos (n+1)^\circ\) è razionale se lo è \(\cos n^\circ\). In tal modo si raggiunge un assurdo... Perché quanto vale \(\cos 60^\circ\)?

Dimostro che \(\displaystyle \sin 1° \) è irrazionale. \(\displaystyle \sin1°=\sin\left(\frac{\pi}{180}\right) \) si calcola con esattezza: infatti \(\displaystyle \sin\left(\frac{π}{5}\right) \) si esprime con radicali, e \(\displaystyle \frac{180}{5}=36 \), cioè un prodotto di potenze di \(\displaystyle 2 \) e di \(\displaystyle 3 \). \(\displaystyle \sin\left(\frac{α}{3}\right) \) è la soluzione di un'equazione di terzo grado con coefficienti che dipendono solo da \(\displaystyle \sin(α) \) (e queste sono risolubili per radicali), e per le potenze di due ci sono le formule di bisezione. Quindi, in principio, risolvendo due cubiche si trova la soluzione esatta (che sarà un'espressione lunghissima, visto che lo sono le formule di cardano).
In conclusione, \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{180}\right)\) si esprime per radicali.

Dimostro che \(\displaystyle \sin 1° \) è irrazionale. \(\displaystyle \sin1°=\sin\left(\frac{\pi}{180}\right) \) si calcola con esattezza: infatti \(\displaystyle \sin\left(\frac{π}{5}\right) \) si esprime con radicali, e \(\displaystyle \frac{180}{5}=36 \), cioè un prodotto di potenze di \(\displaystyle 2 \) e di \(\displaystyle 3 \). \(\displaystyle \sin\left(\frac{α}{3}\right) \) è la soluzione di un'equazione di terzo grado con coefficienti che dipendono solo da \(\displaystyle \sin(α) \) (e queste sono risolubili per radicali), e per le potenze di due ci sono le formule di bisezione. Quindi, in principio, risolvendo due cubiche si trova la soluzione esatta (che sarà un'espressione lunghissima, visto che lo sono le formule di cardano).
In conclusione, \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{180}\right)\) si esprime per radicali.

Non vedo come "si esprime per radicali" possa essere la soluzione del problema.

Anche il numero \(\sqrt{12}\ \sqrt{3}\) si "esprime per radicali", però esso è un numero intero (e quindi razionale) perché è uguale a \(6\).
Anche i numeri di Fibonacci si "esprimono per radicali", e.g. attraverso la formula di Binet \(x_n= \frac{\phi^n -(1-\phi)^n}{\sqrt{5}}\) ove \(\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) è il numero aureo, però essi sono numeri interi (e quindi razionali).

Occorre terminare la dimostrazione in modo più serio, quindi.

Esercizio:

Dimostrare che entrambi \(\cos 1^\circ \) e \(\sin 1^\circ\) sono numeri irrazionali.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Cominciare dal coseno, procedendo per assurdo (i.e. supponendo \(\cos 1^\circ\) razionale).
Usare la formula di duplicazione per ottenere la razionalità di \(\cos 2^\circ\); fare induzione, usando le formule di prostaferesi per provare che \(2\ \cos (n+1)^\circ\) è razionale se lo è \(\cos n^\circ\). In tal modo si raggiunge un assurdo... Perché quanto vale \(\cos 60^\circ\)?

Dim. (irrazionalità di \(\cos 1^\circ\)):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Supponiamo per assurdo che \(\cos 1^\circ\) sia razionale e proviamo che, allora, \(\cos n^\circ\) è razionale per ogni \(n\in \mathbb{N}\).

Per fare ciò usiamo il Principio d'Induzione Matematica nella seconda forma.

1. Base dell'induzione: \(\cos 2^\circ\) è razionale.
Dalla formula di duplicazione del coseno e dalla relazione fondamentale della trigonometria si ricava immediatamente:
\[
\cos 2^\circ = \cos^2 1^\circ -\sin^2 1^\circ =2\cos^2 1^\circ -1\; ;
\]
dal'ipotesi dell'assurdo discende che \(\cos^2 1^\circ\) è un numero razionale, quindi anche \(2\cos^2 1^\circ -1\) è razionale e dell'uguaglianza precedente segue che \(\cos 2^\circ\) è razionale.

2. Passo induttivo: se \(\cos 1^\circ,\cos 2^\circ,\ldots , \cos (n-1)^\circ\) sono razionali allora \(\cos n^\circ\) è razionale.
Dalla formula di prostaferesi per la somma di coseni:
\[
\cos \alpha +\cos \beta = 2\ \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\ \cos \frac{\alpha -\beta}{2}\; ,
\]
prendendo \(\alpha = n^\circ\) e \(\beta =(n-2)^\circ\), si trae:
\[
\cos n^\circ = 2\ \cos (n-1)^\circ\ \cos 1^\circ - \cos (n-2)^\circ\; ;
\]
Per ipotesi induttiva, la quantità presente al secondo membro è un numero razionale, e tanto basta per ritenere acquisito il passo induttivo.

Da quanto appena provato discende che \(\cos n^\circ\) è razionale per ogni valore di \(n \in \mathbb{N}\).
Ma ciò è assurdo, perché per \(n=60\) è ben noto che \(\cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) non è un numero razionale.

Conseguentemente \(\cos 1^\circ\) è un numero irrazionale. \(\square\)

Dim. (irrazionalità di \(\sin 1^\circ\)):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Supponiamo, per assurdo, che \(\sin 1^\circ\) sia un numero razionale.

Dalle identità per gli archi associati si trae facilmente \(\sin 1^\circ = \cos 89^\circ\), ergo per ipotesi \(\cos 89^\circ\) è razionale. Proviamo che, allora, è razionale anche \(\cos (n\ 89)^\circ\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\).

Per fare ciò usiamo nuovamente il Principio d'Induzione Matematica nella seconda forma; si vedrà che basta ripetere, mutatis mutandis, lo stesso ragionamento fatto nella dimostrazione precedente.

1. Base dell'induzione: \(\cos 178^\circ\) è razionale.
Dalla formula di duplicazione del coseno e dalla relazione fondamentale della trigonometria discende:
\[
\cos 178^\circ = 2\ \cos 89^\circ -1\; ;
\]
ma, essendo \(\cos 89^\circ\) razionale, è razionale anche il secondo membro dell'uguaglianza precedente e ciò è quanto volevamo.

2. Passo induttivo: se \(\cos 89^\circ,\ \cos 178^\circ,\ldots ,\ \cos ((n-1)\ 89)^\circ\) sono razionali, tale è \(\cos (n\ 89)^\circ\).
Dalla formula di prostaferesi per la somma di coseni:
\[
\cos \alpha +\cos \beta = 2\ \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\ \cos \frac{\alpha -\beta}{2}\; ,
\]
prendendo \(\alpha = (n\ 89)^\circ\) e \(\beta =((n-2)\ 89)^\circ\), si trae:
\[
\cos (n\ 89)^\circ = 2\ \cos ((n-1)\ 89)^\circ\ \cos 89^\circ - \cos ((n-2)\ 89)^\circ\; ;
\]
Per ipotesi induttiva, la quantità al secondo membro è un numero razionale, e tanto basta per ritenere acquisito il passo induttivo.

Da quanto appena provato discende che \(\cos (n\ 89)^\circ\) è razionale per ogni valore di \(n \in \mathbb{N}\).
Ma ciò è assurdo, perché per \(n=300\) si ha:
\[
\cos (300\ 89)^\circ = \cos 26700^\circ = \cos (60^\circ + 26640^\circ) = \cos (60^\circ + (7\ 360)^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
è ben noto che \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) non è un numero razionale.

Conseguentemente \(\sin 1^\circ\) è un numero irrazionale. \(\square\)