esercizio difficile su scacchiera

Anche questa funziona, ma la prima era più graziosa:

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PostScriptum: ho aggiunto i rettangoli obliqui colorati che mi servono per dimostrare graficamente quanto dirò più avanti sul numero minimo.

Ultima modifica di veciorik il 11/04/2017, 16:43, modificato 3 volte in totale.

Penso che non vada bene ..

E, come al solito, pensi bene.
Ciao

@Alex,
però non vale cercare di far sparire le prove del furto di marmellata: sull'asciugamano restano le macchie.

@Rik,
complimenti: molto belle!

Ciao

@veciorik
Questa è la versione che stavo costruendo in modo sistematico, ma ho perso la pazienza molto presto ...
L'altra è più carina ...

Ultima modifica di axpgn il 09/04/2017, 23:00, modificato 1 volta in totale.

@orsoulx
Dovevo lasciare quelle stupidaggini?

A rigore andrebbe dimostrato che quello è il minimo ...

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Ci sono $15$ diagonali sinistre e altrettante destre, ogni pedina ne copre una destra e una sinistra perciò il minimo teorico è $15$.
Siccome i quattro angoli devono essere tutti occupati avremo la "perdita" di una diagonale destra e una sinistra quindi occorre almeno una pedina in più

Per tirare le somme e generalizzare.

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Data una scacchiera quadrata di lato $ n>1 $ direi che il minimo numero di pedine necessario è, se $ n $ è pari, $ 2n $. Queste vanno disposte sulle caselle ai bordi della scacchiera, occupando, oltre ai quattro angoli, posizioni invarianti per rotazioni di multipli di $ 90° $, in modo che in ciascuna coppia di caselle equidistanti dalla mezzeria, una ed una sola di esse sia occupata. Ad esempio per $ n= 8 $ sono possibili solamente le disposizioni $ OOOOXXXO, OOOXOXXO, OOXXOOXO, OOXOXOXO $ e le loro simmetriche (corrispondenti alla scacchiera vista da sotto).
Per il caso di $ n>1 $ dispari, il numero di pedine necessarie è $ 2n+1$ con posizioni, per le caselle non centrali, uguali a quelle della scacchiera di lato $ n-1 $, a cui si aggiungono le caselle centrali di due lati opposti e una casella qualsiasi della riga/colonna centrale parallela ai lati in questione.

A rigore andrebbe dimostrato che quello è il minimo ...

Ma allora dillo che ce l'hai con me!
Ciao

No, dai ... solo che mi sembrava mancasse il puntino sulla i ...

Per tirare le somme e generalizzare.

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Data una scacchiera quadrata di lato $ n>1 $ direi che il minimo numero di pedine necessario è, se $ n $ è pari, $ 2n $. Queste vanno disposte sulle caselle ai bordi della scacchiera, occupando, oltre ai quattro angoli, posizioni invarianti per rotazioni di multipli di $ 90° $
...omissis...
Per il caso di $ n>1 $ dispari, il numero di pedine necessarie è $ 2n+1$
...omissis...

Nel disegno del mio precedente messaggio ho aggiunto i rettangoli obliqui colorati che dimostrano il calcolo del numero minimo di pedine. I numeri sono gli stessi di orsoulx, ma ho preferito disegnare.

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Oltre alle 4 pedine d'angolo, bastano 2 pedine per ognuno dei $n-2$ rettangoli obliqui, disposte nei vertici opposti del rettangolo e nei corrispondenti vertici del rettangolo congruente ruotato di 90° (quello con lo stesso colore).
Se $n$ è dispari basta aggiungere una pedina al centro del rettangolo spaiato, quello quadrato.

In effetti ho esagerato a dire difficile...
cmq complimenti ottime soluzioni soprattutto l'ultima.