Beato l'ultimo

Su "Le Scienze" di aprile è apparso un interessante gioco a due , che si può enunciare nel seguente modo.
Sulle caselle di una scacchiera quadrata di lato $ n $ un giocatore dispone, nel modo che preferisce, $ n^2 $ biglietti numerati progressivamente da $ 1 $ a $ n^2 $ (uno per casella). A turno i due giocatori prendono un biglietto dalla scacchiera: l'avversario di chi ha disposto i numeri sceglie il primo e poi si possono prendere solo biglietti che si trovino in una posizione contigua ( il confine deve essere un lato di casella) ad una casella ormai priva di biglietto. Quando la scacchiera è vuota, ciascun giocatore somma i numeri dei biglietti che ha catturato, vince chi ottiene la somma maggiore. Vi sono disposizioni che permettono al giocatore che sistema i biglietti di vincere contro qualsiasi strategia dell'avversario?
La soluzione riportata sulla rivista è valida per scacchiere di lato pari maggiore di due. In spoiler riporto una disposizione su una scacchiera li lato quattro, con la strategia vincente.

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Il giocatore deve sempre prendere il numero catturabile maggiore non confinante con uno dei numeri più grandi (13, 14, 15, 16) ancora presente sulla scacchiera.

Due approfondimenti. Il primo facile:
su una scacchiera di lato dispari, chi inizia ad asportare biglietti ha un ulteriore vantaggio: cattura un biglietto in più dell'avversario. Nonostante questo, è ancora possibile ottenere la maggior somma anche con un biglietto in meno, a patto di apportare una piccolissima modifica alle regole del gioco. Quale potrebbe essere questa modifica?

Il secondo, a mio avviso, più tosto:
se consideriamo i lati opposti della scacchiera come contigui (scacchiera su una superficie toroidale) le strategie precedenti non funzionano più. Quale potrebbe essere una disposizione vincente anche su scacchiere di questo tipo? Credo di averne trovata una per scacchiere con lato maggiore di sei, potrebbe però esserci di meglio.
Ciao