Geometria semplice

I quadrati costruiti sui tre lati di un triangolo hanno l'area pari a $74, 116, 370$.
Trovare l'area del triangolo.

Cordialmente, Alex

P.S.: Metodi alternativi ai soliti (Erone e trigonometria) ?

Soluzione "facile"

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$a=sqrt (74),b=sqrt (116),c=sqrt (370),p=frac {a+b+c}{2} $
$A=sqrt(p (p-a)(p-b)(p-c)) $

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Con Erone direi 11, ma tu non vuoi Erone...

Ok Kobe, ma il risultato? Non si può prescindere dal risultato (anche perché ... )

Ok Drazen, se ne hai altri ...

Cordialmente, Alex

Effettivamente calcolare il semiperimetro con la formula di Erone pubblicata da kobeilprofeta non è facilissimo...

Effettivamente calcolare il semiperimetro con la formula di Erone pubblicata da kobeilprofeta non è facilissimo...

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Moltiplicando per $frac {sqrt (16)}{4}$ ottieni $frac {sqrt ((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))}{4} $

@Alex:
non mi è chiara la richiesta dei 'metodi alternativi': se esistessero scorciatoie, sarebbero state sicuramente già trovate, vista la vetustà del problema.
Io proverei con una delle 'classiche' dimostrazioni dei teoremi citati

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Assumiamo come base del triangolo il lato di maggiore lunghezza (così siamo certi che il piede dell'altezza è interno alla base) ed indichiamo con $x$ la proiezione su questo del più corto. Ricavando col T. di Pitagora l'altezza del triangolo utilizzando i due triangoli rettangoli da questa formati ed eguagliando i risultati otteniamo: $ 74 -x^2=116-370-x^2+2xsqrt (370) \rightarrow x=164/sqrt(370)$
Da cui l'altezza $ h=sqrt(74*370-164^2)/sqrt(370) $
e l'area $ A=sqrt(74*370-164^2)/2=sqrt(37*185-82^2)=11 $

Ciao

Per casi come questo, con queste "caratteristiche", un metodo alternativo è il seguente:

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Non è una soluzione grafica ma algebrica, l'immagine la rende chiara ... no?

Cordialmente, Alex

Alex:
interessante e secondo te uno dovrebbe:
a) avere l'intuizione necessaria, forse buoni rapporti coi Santi in Paradiso, potrebbero servire;
b) accertarsi che siano soddisfatte le condizioni opportune?
Sarebbe interessante, anche se difficile, calcolare la probabilità, che estraendo a caso le aree dei quadrati (diciamo fra 1 e 1000), si ottenga un triangolo a cui è applicabile il metodo alternativo.
Col disegno non sono (quasi) necessari calcoli, basta contare i puntini: $ 10+4/2-1=11 $
Ciao

Dai che è bellina! Pochissimi conti e niente radici

Comunque, in pratica, non è così improbabile "trovarli" come sembrerebbe ... o meglio, non era ... perché quando non c'erano i computer ed i calcoli erano un po' più difficili da fare, molti di questi problemi venivano "costruiti" in questo modo ed è facilissimo farlo: disegni un rettangolo e prolunghi i due lati avendo solo l'accortezza che il segmento che unisce gli estremi dei prolungamenti sia esterno al rettangolo (e ovviamente che le misure dei lati e dei prolungamenti siano intere ... )

Un altro problema, che assomiglia a questo, è il seguente:

Trovare l'area della figura piana convessa composta in questo modo: un triangolo $A$, i tre quadrati costruiti sui tre lati e le cui aree sono pari a $18, 20, 26$ e i tre triangoli che "tappano" i vuoti tra i quadrati (chiusi dai tre segmenti che collegano i vertici liberi dei quadrati).

Cordialmente, Alex