Orologi sul tavolo

50 orologi precisi precisi sono appoggiati su un tavolo (magari belli tondi, come quelli da taschino di una volta )
Provare che esiste un momento in cui la somma delle distanze tra il centro del tavolo e la punta delle lancette dei minuti è maggiore della distanza tra il centro del tavolo e il centro degli orologi.

Cordialmente, Alex

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Posso disporre gli orologi orientandoli come voglio?

Sì, o meglio no, nel senso che la soluzione deve valere per qualsiasi disposizione degli orologi sul tavolo, non per una in particolare (ovviamente si intende posizionati in piano, niente 3D o posizioni strampalate )

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Posso disporre gli orologi orientandoli come voglio?

Troppo facile. Deve essere vero per qualsiasi orientamento.

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Il numero (50) degli orologi è irrilevante: basta ragionare su un singolo orologio.
Durante il suo giro, la distanza variabile della lancetta dall'origine (il centro del tavolo sia l'origine di un sdr) è maggiore, in media, della distanza fissa del centro dell'orologio dall'origine.
Consideriamo la circonferenza percorsa dalla lancetta e la circonferenza centrata nell'origine passante per il centro dell'orologio: il tratto esterno alle due intersezioni è sempre più lungo del tratto interno.

ovviamente si intende posizionati in piano, niente 3D o posizioni strampalate

Mi pare che l'unica condizione necessaria sia che la punta delle lancette descrivano una circonferenza attorno al centro del rispettivo orologio.
Ciao

Ho preferito andare sul sicuro non avendo approfondito

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Estendendo allo spazio l'osservazione di veciorik e pensando alle sfere passanti per i centri degli orologi, si può vedere che le circonferenze percorse dalle lancette dei minuti sono tutte esterne alle sfere per la maggior parte della loro estensione, in qualsiasi modo si orientino gli orologi nelle tre dimensioni.

Cordialmente, Alex

Esagerando con la tetratricotomia, osserverei che nel testo occorrerebbe specificare che con "centro dell'orologio" si intende il punto in cui l'asse di rotazione interseca il piano su cui si muove la punta della lancetta. Se così non fosse, mi pare sia possibile disporre i 50 orologi sul tavolo in modo da rendere falsa la tesi.
Ciao