Trovare l'errore.

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[1] L'equazione di 2° grado $ \quad f(x)=x^2+x+1=0 \quad $ ha 2 radici complesse $ \quad x=(-1\pm i sqrt(3))/2 \quad $ con $ \quad i=sqrt(-1)$

[2] L'equazione fratta $ \quad f(x)/x=x+1+1/x=0 \quad $ ha le medesime 2 radici della suddetta [1].

[3] Ovviamente l'equazione $ \quad f(x)/x=f(x) \quad $ ha ancora le 2 radici di $ \quad f(x)=0 \quad $,

oltre alla radice banalissima $ \quad x=1 \quad $ per cui $ \quad f(x)/1=f(x) \quad $ è vero sempre, per qualsiasi $ \quad f(x)$

[4] Riscritta la [3] come equazione di 3° grado $ \quad f(x)=x*f(x) \ $, deve avere 3 radici complesse

Semplicemente combinando le due forme dell'equazione ne ho aumentato di un grado (x^3) la complessità, introducendo una soluzione fittizia (x=1) accanto alle altre due soluzioni corrette [x= - 1/2 +- i /2*(3)^1/2 ] nel campo dei numeri complessi, che risolvono sia l'equazione di partenza, sia quella improvvidamente mutata.
E' come quando scrivo x=2 => x^2=4. Non è un errore, ma devo ricordarmi che così ho introdotto una soluzione (x=-2) originariamente assente.

Scusate ma $x^3=1$ non implica mica $x=1$

Nei reali mi pare proprio che sia vero e penso che il quesito che ha posto l'OP si riferisse a tale ambito ... IMHO

Cordialmente, Alex

Si \( x^3=1 \) implica che \( x=1 \)
e comunque

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Sono d'accordo con axpgn, che con un ipotesi falsa si può concludere quello che si vuole. Quindi ci sono due errori. A me interessava l'altro errore, quello sui principi di equivalenza. Lo reputo più interessante

Lasciamo perdere il dominio, reali o complessi.
La mossa di prestidigitazione, abilmente camuffata, sta nella moltiplicazione per $ \quad (x-1) \quad$ dell'equazione

[ 1 ] $ \quad x^2+x+1=0 \quad $ che conduce a

[ 2 ] $ \quad (x-1)(x^2+x+1) \quad = \quad x^3-1 \quad = 0$

La soluzione $ \quad x=1 \quad $ della [ 2 ] è stata aggiunta dalla moltiplicazione, ma non era soluzione della [ 1 ] .