Medie

Trovare il rapporto tra due numeri se il rapporto tra la loro media aritmetica e la loro media geometrica è $25/24$


Cordialmente, Alex

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$16/9$

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Se \(a\) e \(b\) sono due numeri positivi di cui conosciamo l'uguaglianza: \[
\frac{a+b}{2\sqrt{a\,b}} = k
\] quadrando ambo i membri: \[
\frac{(a+b)^2}{4\,a\,b} = k^2
\] moltiplicando ambo i membri per \(4\,\frac{a}{b}\): \[
\frac{(a+b)^2}{b^2} = 4\,k^2\frac{a}{b}
\] e battezzando il rapporto \(r := \frac{a}{b}\): \[
(r+1)^2 = 4\,k^2r
\] non rimane che risolvere tale equazione di secondo grado nell'incognita \(r\): \[
r_1 = \left(2\,k^2-1\right) - 2\,k\sqrt{k^2-1}\,,
\quad \quad
r_2 = \left(2\,k^2-1\right) + 2\,k\sqrt{k^2-1}
\] che, volendo, equivale anche a scrivere: \[
r_1 = \frac{1}{\left(2\,k^2-1\right) + 2\,k\sqrt{k^2-1}}\,,
\quad \quad
r_2 = \frac{1}{\left(2\,k^2-1\right) - 2\,k\sqrt{k^2-1}}\,.
\] Essendo \(k = \frac{25}{24}\), i due possibili rapporti sono \(r_1=\frac{9}{16}\) se \(a<b\) oppure \(r_2=\frac{16}{9}\) se \(a>b\).

ad entrambi

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Sappiamo che $$\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{25}{24}$$
Quindi $$a+b = 25k \qquad ab=(12k)^2$$
Detti $\alpha=a/k$ e $\beta=b/k$, possiamo scrivere
$$\alpha+\beta = 25 \qquad \alpha\beta=144$$
Quindi $\alpha,\beta$ sono le soluzioni dell'equazione $$x^2-25x+144=0$$
Allora
$$\frac{a}{b}=\frac{\alpha}{\beta}=\frac{16}{9}$$