Somma di dadi

Dedicato ad axpgn che mi sembra appassionato di questi problemi.

Supponete di tirare due dadi non truccati. Si vede facilmente che la probabilità che la somma dei risultati sia pari è $1/2$. E' anche facile verificare che se almeno uno dei due risultati è un $1$, la probabilità che la somma dei dadi sia pari non è più $1/2$, ma $5/11$. D'altra parte la stessa cosa è vera anche se almeno uno dei due risultati è un $2$, un $3$, un $4$, un $5$ o un $6$. Ora facciamo il seguente gioco: io tiro due dadi non truccati e vi annuncio uno dei due risultati. E' conveniente scommettere sul fatto che la somma sia dispari? Siamo certamente in uno dei casi sopracitati...

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Dipende come ce lo annunci
Se ci dici: "è uscito un 'whatever'" allora è conveniente scommettere sulla somma dispari. Se invece annunci: "il primo dado è un 'whatever'" allora è sempre \(1/2\).

@3m0o: l'annuncio è della forma "Uno dei due risultati è X", e non "il risultato del primo dado è X". E comunque no, la risposta non è corretta.

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Se non ho capito male il testo, se annunci il valore di uno dei dadi allora la probabilità è sempre $1/2$ perché potresti annunciare il valore del primo o del secondo dado e in tal modo i casi restanti sono 3 a 3 mentre nel caso del testo in cui affermi che la probabilità del pari è $5/11$ scrivi "uno dei due" e quindi conti come unico l'evento $(n,n)$

IMHO

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Sia \(A = \text{la somma è pari}\), \( B=\text{la somma è dispari}\) e \(C=\text{è uscito almeno un } n\) con \(1 \leq n \leq 6 \) arbitrario e fissato. Per scommettere dobbiamo trovare \( \mathbb{P}(A \cap C) \) e \( \mathbb{P}(B \cap C) \), oppure \( \mathbb{P}(B \mid C) \) e \( \mathbb{P}(A \mid C) \).

Abbiamo che la probabilità \( \mathbb{P}(C)= \frac{1}{6} \frac{5}{6} + \frac{5}{6}\frac{1}{6} + \frac{1}{6} \frac{1}{6} = \frac{11}{36} \). Chiaramente \( \mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(B)=1/2\). Per trovare \( \mathbb{P}(A \cap C) \) vediamo che se sono usciti due \(n\) allora la somma è pari, altrimenti se non sono entrambi uguale ad \(n\), il dado che non è \(n\) ha solo due possibilità per far si che la somma sia pari, per un totale di \(5\) possibilità su \(11\). In modo simile \( \mathbb{P}(B \cap C)\), vediamo che un dado dev'essere \(n\) e l'altro diverso, il dado diverso da \(n\) ha \(3\) possibilità. Per un totale di \(6 \) possibilità.
\[ \mathbb{P}(B \mid C) = \frac{ 6/36}{11/36} = \frac{6}{11} \]
\[ \mathbb{P}(A \mid C)= \frac{ 5/36 }{11/36} = \frac{5}{11} \]

Se mi dici anche per quale dado è uscito \(n\), essendo i lanci indipendenti, l'altro ha sempre \(3\) possibilità su \(6\).

Non capisco perché mi dici che è sbagliata.

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Ahh tu sai qual è il dado, e mi dici il primo o il secondo

Ok, forse non mi sono spiegato bene. Lancio due dadi, e vi dico: “almeno uno dei due tiri e’ un 1”. Siccome i lanci possibili sono $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)$ e quindi sono 11 di cui 5 hanno somma pari, e’ piu’ probabile che la somma sia dispari che pari (un po’ come il fatto che se io ho due figli e vi dico che almeno uno e’ maschio, la probabilità che il secondo sia maschio non e’ $1/2$ ma $1/3$). D’altra parte se io vi dico “almeno uno dei due tiri e’ un 2”, lo stesso ragionamento applica identico. Ma anche se vi dico “almeno dei due tiri e’ un 3”, e lo stesso con 4,5,6. Sembra che ne consegua che la probabilità che la somma sia dispari sia maggiore della probabilità che la somma sia pari. D’altra parte se scrivete tutti i lanci possibili di 2 dadi vi accorgerete che la meta’ esatta ha somma pari. Dove sta l’inghippo?

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L'inghippo sta nel fatto che $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)$ son tutte a somma pari

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Perché ci sono le intersezioni, tra i risultati possibili, nel caso tu annunci il risultato di uno dei due dadi.

Mi spiego.

Caso $1)$ Tu annunci "Uno (almeno) dei due risultati è $1$. Casi possibili:
$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)$

Caso $2)$ Tu annunci "Uno dei due risultati è $2$. Casi possibili:
$(2,2), (2,1), (1,2), (2,3), (3,2), (2,4), (4,2), (2,5), (5,2), (2,6), (6,2)$

Caso $3)$ Tu annunci "Uno dei due risultati è $3$. Casi possibili:
$(3,3), (3,1), (1,3, ) (3,2), (2,3), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3), (3,6, ) (6,3)$

Tu annunci, etc. etc.

Come si vede, ci sono intersezioni, $(1,2)$ ad esempio appartiene sia al Caso $1)$ che al Caso $2)$, $(3,2)$ appartiene sia al caso $2)$ che al caso $3)$, etc.

Quindi, se si va a calcolare la probabilità che il risultato sia pari o dispari, bisogna tenere conto che non sono eventi incompatibili, e quindi le intersezioni vanno sottratte.

Non si può sommare le probabilità che il risultato sia dispari nei singoli casi e via, per dire che è più probabile che la somma sia dispari.

@axpgn: no, non e’ quello il motivo.

@gabriella:

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Hai intravisto la direzione giusta, ma non e’ una spiegazione sufficiente. Anche nel caso dei figli le intersezioni non sono nulle, pero’ e’ vero che se io ho due figli di cui uno e’ maschio, la probabilità che l’altro sia maschio e’ 1/3.