24/06/2023, 13:12
24/06/2023, 15:09
25/06/2023, 00:47
26/06/2023, 08:36
apatriarca ha scritto:In effetti non è molto chiaro che cosa tu stia esattamente facendo con quei calcoli e quali siano esattamente i tuoi input.
Per prima cosa il tuo fascio non è in grado di rappresentare tutte le possibili rette in quanto non contiene la retta \(y_1 = x.\) La seguente formula contiene tutte le possibili rette del fascio:
\[ a(x - x_1) + b(y - y_1) = 0. \]
Nota che se moltiplichiamo \(a\) e \(b\) per lo stesso numero otteniamo la stessa retta e quindi la rappresentazione non è unica (ma non è importante). Hai che il tuo valore \(m_1 = -a/b.\) Se \( c(x - x_2) + d(y - y_2) = 0 \) è un'altra retta la condizione di perpendicolarità in questo caso è \( ac + bd = 0. \) Quindi possiamo ad esempio prendere \( b(x - x_2) - a(y - y_2) = 0.\) Tutte gli altri valori di \(c\) e \(d\) sono in effetti ottenuti moltiplicando questi valori per un valore qualsiasi diverso da zero. Hai che \(m_2 = - b/(-a) = b/a = - 1/m_1\) come nei tuoi calcoli.
Per trovare l'intersezione devi risolvere il sistema lineare:
\[
\begin{cases}
ax + by = ax_1 + by_1 \\
bx - ay = bx_2 - ay_2
\end{cases}
\]
La soluzione dovrebbe essere (ho fatto i calcoli a mano di fretta per cui potrebbero esserci errori):Testo nascosto, fai click qui per vederlo\[
x = \frac{a^2x_1 + aby_1 + b^2x_2 - aby_2}{a^2 + b^2} = \frac{m_1^2x_1 - m_1y_1 + x_2 + m_1y_2}{1 + m_1^2} \\
y = \frac{abx_1 + b^2y_1 - abx_2 + a^2y_2)}{a^2 + b^2} = \frac{y_1 - m_1x_1 + m_1x_2 + m_1^2y_2}{1 + m_1^2}
\]
Nota che qui non c'è nulla da risolvere in quanto tutti i valori sono conosciuti. Il tuo procedimento era corretto ma dovevi ancora fare l'ultimo passaggio che hai descritto solo a parole. Ti conviene tuttavia usare \(a\) e \(b\) invece che \(m_1\) perché la retta perpendicolare è in questo caso sempre ben definita e non ci sono problemi con divisioni per numeri piccoli.
26/06/2023, 08:50
apatriarca ha scritto:Nota che qui non c'è nulla da risolvere in quanto tutti i valori sono conosciuti. Il tuo procedimento era corretto ma dovevi ancora fare l'ultimo passaggio che hai descritto solo a parole. Ti conviene tuttavia usare \(a\) e \(b\) invece che \(m_1\) perché la retta perpendicolare è in questo caso sempre ben definita e non ci sono problemi con divisioni per numeri piccoli.
26/06/2023, 11:45
26/06/2023, 16:49
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