Cambiamento della variabile indipendente nei limiti e Analisi 1

Ciao. Ho notato che molto spesso nei testi di analisi di base manca un qualche enunciato che possa essere chiamato il "teorema di cambiamento della variabile indipendente" [1] per i limiti. Questo succede anche quando si scelga di presentare la teoria dei limiti prima della continuità.

[1] La versione più generale del "teorema" che mi sono costruito (cinque minuti fa, ché quella che ho frasato ieri me la sono già dimenticata, ovviamente) è

Siano \( D \), \( E \) ed \( F \) qualcosa a scelta tra tre sottoinsiemi di \( \mathbb R \), tre spazi metrici o tre spazi topologici. Sia \( x_0\in D \) un punto di accumulazione. Sia \( \phi\colon D\setminus\{x_0\}\to E \) una funzione. Supponiamo che esista il limite \( y_0 := \lim_{x\to x_0}\phi(x) \), e osserviamo che è un punto di accumulazione di \( E \). Supponiamo anche che esista un intorno, \( W \), di \( x_0 \) in \( D \), tale che per ogni \( x\in W\setminus\{x_0\} \) si abbia \( \phi(x)\neq y_0 \). Sia \( f\colon E\setminus\{y_0\}\to F \) una funzione.

Se esiste il limite \( \lim_{y\to y_0}f(y) \), allora esiste anche il limite \( \lim_{\substack{x\to x_0\\x\in W}}f(\phi(x)) \), e i due coincidono.

La domanda che ho, è: c'è qualche motivazione didattica in particolare? Tranne che nelle situazioni più ovvie, mi sembra che isolare un lemma del genere sia inutile. Ad esempio:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Siano \( \mathbb R\xrightarrow{f} \mathbb R\xrightarrow{g} \mathbb R \), con \( f \) derivabile in \( x_0 \) e \( g \) derivabile in \( f(x_0) \). La chian rule per \( f \) e \( g \) si dimostra passando per la continuità di una funzione di supporto, \( h \), definita a tratti come
\[
h(x) = \begin{cases}
\frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{f(x) - f(x_0)} & \text{se $ f(x) - f(x_0)\neq 0 $}\\
g^\prime(f(x_0)) & \text{altrimenti}
\end{cases}
\] la quale deve essere provata necessariamente "con le mani".

Come spiegate voi il cambiamento di variabile?

Non è che ho capito benissimo cosa stai domandando, se cioè stai domandando perché non c'è un teorema che giustifichi il cambiamento di variabile o perché non compaia nei testi.

Sotto quel cambiamento di variabile c'è un teorema del limite di funzioni composte, esiste, ma forse non chiedi questo.

Perché non c'è nei testi? Non lo so, credo che sia solo per non appesantire la trattazione, ogni testo fa delle scelte su cosa mettere e cosa no.
Se c'è qualche motivazione didattica, boh. Mi sembrerebbe strano.

Boh, io sempre pensato al cambio di variabile come un ad re-scaling. Nel particolare, come ad un'applicazione biettiva nell'intervallo di interesse.

Sto chiedendo se valga la pena di isolare agli altri un risultato simile a quello che riporto. Io penso che sia sufficiente mostrarne alcune applicazioni concrete. Per dire: se una persona vi chiedesse "Come si calcola \( \lim_{x\to 2}\frac{\sin(x-2)}{x-2} \)?", che rispondereste?

Il problema, qui come con molti risultati di analisi, è che è difficile raccogliere tutti i casi particolari in una proposizione sola. Secondo voi quella forma lì è abbastanza generale? (So che è difficile dirlo, dato che nella "pratica" nessuno scrive in modo preciso tutti i passaggi di un cambio di variabile )

Può darsi che un risultato-teorema come quello che riporti non affascini per profondità molti autori, e preferiscano lasciare spazio ad altre cose, caso mai, come dici tu, lasciandolo ad applicazioni concrete.

Innanzitutto, didatticamente serve a far capire che non sempre le cose tirate lì in cinque minuti sono esatte.
Ad esempio, cosa assicura che $y_0$ sia di accumulazione per $E$? Nulla. (Perché?)

Per il resto, un risultato del genere si "isola" (da cosa?) e si dimostra (perché nei testi di Analisi decenti la dimostrazione c'è) perché 1) si applica ovunque e 2) è ottenuto in ipotesi pressoché ottimali.

Sì è scritto malaccio. La richiesta (altrimenti piuttosto stramba) dell'esistenza di quell'intorno \( W \) di \( x_0 \) dove non dev'essere \( \phi(x) = y_0 \) serve proprio a evitare che \( \phi \) sia una costante perlomeno vicino a \( y_0 \).

[È un risultato che] 1) si applica ovunque e 2) è ottenuto in ipotesi pressoché ottimali.

Questo lo so. Ma la versione del teorema che hai in mente tu (quella "in ipotesi ottimali" che ha in mente anche @Bokonon) richiede che \( \phi \) sia un cambio di variabile di lusso (cioè che sia omeo \( D\to E \)). Occhio che ho detto che se esiste \( \lim f \), allora esiste \( \lim{f\circ g} \); con sole queste ipotesi il contrario può fallire miseramente!

Eppure, io son convinto (non so perché) che neanche enunciandolo così si siano coperti tutti i casi particolari...

@marco2132k
Rinunciare alla biettività suona davvero strano in quanto qualsiasi trasformazione per essere "sound" deve essere reversibile in generale. Fondamentalmente io penso che @gabriella127 abbia già individuato ciò che @gugo82 ti sta suggerendo.

In altre parole, l'intuizione suggerisce che NON siano coperti tutti i casi particolari