componenti o proiezioni?

Mi accodo alle domande che sono state fatte... che differenza c'è matematicamente tra componenti e coordinate del vettore? Grazie!

Le componenti di un vettore (in una base) non sono altro che le proiezioni di quel vettore lungo quelli che formano la base, cioè, se \(\{e_1,\dots,e_n\}\) è una base di \(V\cong K^n\), allora ogni vettore \(v\in V\) ha componenti \((v_1,\dots, v_n)\) dove \(v_i = \pi_i(v)\), o meglio ancora \(v_i= \pi_i \circ v\), nel primo caso pensando a \(\pi_i : V\to K\) come alla proiezione sul sottospazio di dimensione 1 \(\langle e_i\rangle\cong K\), e nel secondo caso pensando a \(v : K\to V\) come alla applicazione lineare associata a $v$, che manda $1$ in $v$ e \(\alpha\in K\) in \(\alpha.v\).

Assolutamente, definitivamente, conclusivamente, nessuna differenza.


...Cosa non è chiaro di questo messaggio?

Credo che per componente si intenda il vettore di base moltiplicato per lo scalare opportuno. Le coordinate, invece, sono i coefficienti per i quali sono moltiplicati i vettori di base. Corretto?

No.

Va bene, mi sembrava che anche nel testo di algebra lineare che avevi consigliato si usasse il concetto di coordinate come scalari moltiplicatori (per differenziare dalle componenti, che sono i vettori). Mi sarò sbagliato!

Le componenti non sono i vettori, le componenti (fissata una base) sono le coordinate (fissata una base).

Ah si, certo. Quindi per componenti non si intendono i vettori proiettati nelle direzioni di vettori di base? In Fisica, quando si scompone un vettore, si chiamano componenti proprio i vettori lungo gli assi cartesiani... non capisco come mai..