LA faccio breve. Consideriamo un riferimento inerziale $(Oxyz)$ fisso, e
un solo punto materiale $(P,m)$ che si muove rispetto ad esso, con velocità $vecv$ , e quindi quantità di moto $vecp = mvecv$ . Prendiamo ora un polo $Omega$ , anch'esso mobile con velocità $vecv_\Omega$ nel riferimento detto.
Il momento angolare di $P$ rispetto a $Omega$ vale :
$vecL = vec(OmegaP) times vecp $
il punto $P$ ha raggio vettore $vecr$ rispetto ad $O$ ; il polo $Omega$ ha raggio vettore $vecr_\Omega$ rispetto ad $O$ ; si ha :
$ vecr = vecr_\Omega + \vec(OmegaP) $
come è evidente dalla figura seguente :
Se su $P$ agisce una forza $vecF$ , la seconda equazione della dinamica dice che :
$vecF = (dvecp)/(dt) $
Molptiplicando a sinistra per $vec(OmegaP)$ , si ha :
$vec(OmegaP)timesvecF = vec(OmegaP) times(dvecp)/(dt)$
il primo membro non è altro che il momento della forza $vecF$ rispetto ad $Omega$ : lo chiamiamo $vecM$ . Per quanto riguarda il secondo membro, ci interessa introdurre il vettore momento angolare $vecL$ definito all'inizio, per cui deriviamo tale vettore rispetto al tempo :
$(dvecL)/(dt) = (dvec (OmegaP))/(dt) timesvecp + vec(OmegaP)times (dvecp)/(dt) $
e quindi, isolando il secondo termine al secondo membro :
$vec(OmegaP)times (dvecp)/(dt) =(dvecL)/(dt) - (dvec (OmegaP))/(dt) timesvecp$
ora al primo membro possiamo scrivere il momento della forza $vecF$ rispetto al polo mobile $Omega$ :
$vecM =(dvecL)/(dt) - (dvec (OmegaP))/(dt) timesvecp$
al posto di $vec (OmegaP)$ possiamo scrivere : $ vecr - vecr_\Omega$ . Effettuando la derivata di questa differenza di vettori , e moltiplicando vettorialmente per $vecp = mvecv$, notiamo che $ (dvecr)/(dt) = vecv$ e $vecp= mvecv$ sono paralleli, per cui il loro prodotto vettoriale è nullo. Rimane perciò :
$vecM =(dvecL)/(dt) - (-vecv_\Omega timesvecp) =(dvecL)/(dt) + vecv_\Omega timesvecp$
quindi, il momento della forza esterna rispetto al polo mobile $Omega$ è uguale alla derivata temporale del momento angolare
più la quantità $vecv_\Omega timesvecp$ , che non si annulla se non quando il polo $Omega$ è fisso. Naturalmente qui non si parla di centro di massa perché le equazioni sono state scritte per un solo punto materiale . Ma il procedimento è analogo se si parla di un corpo rigido , nel qual caso la quantità di moto è uguale alla massa del corpo per la velocità del CM :
$ vecP = mvecv_(CM) $
per cui , nel caso del corpo rigido si può dire che il termine aggiuntivo è nullo solo se :
1) il polo $Omega$ è fisso, oppure
2) il polo è coincidente con il CM , perché hanno la stessa velocità, oppure
3) il polo è diverso dal CM , ma ha velocità parallela a quella del CM .
Naturalmente , resta valido tutto quanto detto circa il calcolo della derivata del momento angolare $(dvecL)/(dt)$ nel riferimento fisso , che si effettua applicando la formula di Poisson .