Ciao judoca 92. Mi spiace ma non va bene.
In meccanica classica, se due particelle si scontrano anelasticamente e il sistema è isolato, diciamo che si conserva la qdm totale ma non l'energia cinetica .
In dinamica relativistica si ha invece sempre la conservazione del 4-vettore energia-impulso totale , e la norma (il modulo quadro)
è invariante.
Nel tuo caso , le due particelle hanno uguale massa, e vengono considerate dapprima in un riferimento in cui si scontrano frontalmente viaggiando ciascuna con velocità di modulo $v=0.5c$ . Tale riferimento è evidentemente il riferimento del "laboratorio" che in questo caso
coincide col riferimento del centro di massa delle particelle, il quale rimane in quiete rispetto al laboratorio, cioè rispetto all'osservatore.
Per definizione, il riferimento del cdm è quello in cui la qdm totale (
parte spaziale!)
è nulla .
Le due particelle hanno in questo riferimento i seguenti 4-vettori energia-impulso :
$vecP_1 = (E_1/c,vecp_1) = ( \gamma(v)mc, \gamma(v)mvecv) $
$vecP_2 = (E_2/c,vecp_2) = ( \gamma(v)mc, \gamma(v)m(-vecv)) $
Il 4-vettore della particella finale è la somma dei due 4-vettori :
$vecP = vecP_1 + vecP_2 = (E_1/c + E_2/c , vecp_1+vecp_2 ) $
è chiaro che : $vecp_1 + vecp_2 = vec0 $
e dovendo essere ovviamente, per definizione di 4-vettore : $ vecP = (E/c, vecp ) $ , si vede facilmente che :
$E/c = E_1/c + E_2/c = 2E_1/c$ ------(1)
mentre come già detto : $vecp = 0 $ . Perciò l'energia finale è semplicemente la somma delle energie (uguali) delle due particelle incidenti.
Il risultato si può ottenere anche calcolando il modulo quadro (invariante scalare) del 4-vettore somma $vecP$ :
$(E_1/c+E_2/c)^2 - (vecp_1+vecp_2)^2 = 1/c^2 (E_1^2 +E_2^2 + 2E_1E_2) = 4E_1^2/c^2$ ( poiché $E_1 = E_2 = \gamma(v)mc$ ).
E quindi : $vecP*vecP = vecP^2 = E^2/c^2 = 4E_1^2/c^2 $
Essendo anche : $vecP^2 = (Mc)^2 $ , dove con $M$ ho indicato la massa della particella finale, si ha ovviamente :
$Mc = E/c \rightarrow M = E/c^2 = 2E_1/c^2 = 2\gamma(v)m $ --------(2)
[NB : noto esplicitamente che , dato un qualunque 4-vettore energia impulso di una particella di massa $m$, risulta : $P^2 = (m^2c^2) $ : basta calcolare la norma (modulo quadro) , che si dice anche massa invariante o energia del centro di massa].
Il risultato (2) ci dice che la massa $M = 2\gamma(v)m $ è superiore alla somma $2m$ delle masse delle particelle incidenti : la massa è aumentata ? Bisogna tener conto che nelle collisioni ciascuna particella porta con sé anche energia cinetica, quindi $M$ tiene conto non solo della massa di riposo delle due particelle ma anche della loro energia cinetica. Come si sa, l'energia relativistica è composta di energia di risposo più altre forme di energia, tra cui principalmente la cinetica, quindi non è pura e semplice massa.
Vediamo ora che succede nel riferimento di una delle particelle, supponiamo
quella di destra che nel laboratorio viaggia verso sinistra (fatti un disegnino) con velocità $v = 0.5c$ rispetto al laboratorio, cioè rispetto al cdm. Ora cioè assumiamo il riferimento della particella di destra.
LA particella
di sinistra , che ha anch'essa velocità $0.5c$
rispetto al riferimento del cdm, ( riferimento che a sua volta ha velocità $0.5c$
rispetto alla particella di destra ora "in quiete" ), ha una velocità relativa alla particella in quiete che si deve calcolare
componendo relativisticamente le due velocità dette :
$u = ((0.5+0.5)c)/(1+0.5*0.5) = 0.8c$
è chiaro questo discorso?
Quindi ora le due particelle , nel riferimento in cui la destra è in quiete, hanno i seguenti 4-vettori energia-impulso :
$vecP_s = (E_s/c, vecp_s) = (\gamma(u)mc, \gamma(u)mvecu) $
$vecP_d = (E_d/c,0) = (mc, 0 ) $ ( qui il fattore $\gamma=1$ perché la particella è ferma rispetto a se stessa, chiaro? E l'energia è solo quella di riposo. Ho indicato con pedici $s$ e $d$ risp. sinistra e destra ).
PErcio, calcolando il 4-vettore totale $P_t$ (evito la fastidiosa freccia di vettore ) :
$P_t = (\gamma(u)mc + mc, \gamma(u)"m"u)$
l'invariante è :
$P_t*P_t = m^2c^2(\gamma(u)+1)^2 - (\gamma(u)"m"u)^2 $
ma deve essere anche , come al solito : $P_t*P_t = P_t^2 = (Mc)^2 $
quindi uguagliando si ha :
$M^2c^2 = m^2c^2(\gamma(u)+1)^2 - (\gamma(u)"m"u)^2 $
da cui si ricava $M$ .
Insomma , in ogni caso basta tenere presente che il modulo quadro del 4-vettore energia impulso è uguale alla massa invariante $ (Mc)^2$ , e applicare questa uguaglianza correttamente in ogni ragionamento.
Si può dimostrare anche (ma lo lascio fare a te) , che : $M = msqrt(2(1+\gamma(u)))$
Confrontando le due espressioni di $M$ , e cioè :
$ M = 2\gamma(v)m$
$M = msqrt(2(1+\gamma(u)))$
esse devono risultare uguali, poiché cambia solo il riferimento. Prova a verificarlo. Io l'ho fatto sostituendo direttamente i valori numerici e trovandomi i fattori $\gamma(v)$ e $\gamma(u)$
Spero che sia tutto chiaro. LA materia non è facile.
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