derivate totali,parziali,lagrangiane ,euleriane

nella scrittura T(x(t),t) dove T è sempre la temperatura,vorrei capire la differenza e l'espressione matematica tra la derivata totale di T rispetto al tempo e la derivata parziale di T rispetto al tempo
grazie in anticipo per le eventuali delucidazioni!

Beh, immagino che, come al solito, si abbia:
\[
\begin{split}
\frac{\partial T}{\partial t}(x(t),t) &= T_t (x,t)\Big|_{(x,t) = (x(t),t)} \\
\frac{\partial T}{\partial x}(x(t),t) &= T_x (x,t)\Big|_{(x,t) = (x(t),t)}\\
\frac{\text{d} T}{\text{d} t} &= \dot{x}(t)\ \frac{\partial T}{\partial x}(x(t),t) +\frac{\partial T}{\partial t}(x(t),t) \;,
\end{split}
\]
in cui le prime due sono le derivate parziali di $T$ calcolate lungo le traiettorie $(x(t), t)$ e l’ultima è la derivata totale.

Per capire il meccanismo, prova a farti un esempio semplice in cui puoi fare i conti “a mano”.