Trigonometria/integrali

Ciao a tutti, qualcuno saprebbe dirmi perché la superficie dell'impronta lasciata dalla sfera sulla piastra è

$ $S=$\pi$Dh$ $?

Ho provato a fare i conti così:

$ $ $\int r^2 sin\theta d\theta d\phi$ =

$2\pir^2\int_0^\thetasin\theta d\theta$$$

$sin \theta = d/D $

$cos \theta= 2/D (D/2-h) $

$\theta= arctg (d/(D-2h)) $

$d\theta = (1+(d/(D-2h)^2)^(-1)) (-2) dh$

ma mi blocco sulla sostituzione di $sin \theta$ e $d\theta$.

Grazie

Non devi confondere il valore finale dell'angolo con quello dell'argomento dell'integrale.
Risulta molto semplicemente

$S = pi D^2/2 int_0^(theta_0) sin(theta) d theta = pi D^2/2 (1-cos(theta_0))$

dove

$cos(theta_0) = 2/D(D/2 -h) = 1-2h/D$

da cui sostituendo:

$S = pi*D*h$