Problema con delta di Dirac

Ciao a tutti, avrei un problema con un esercizio... mi si chiede di trovare la soluzione al seguente problema:

$ddot x + dot x = \delta(t-1)$, con condizioni iniziali $x(0)=dot x(0)=0$.

Non so veramente da dove partire... ho provato a calcolare la trasformata di Fourier della soluzione, ma, una volta trovata, ritornare alla soluzione sembra infattibile. Qualcuno ha un'idea?

Senza scomodare la trasformata di Fourier, puoi procedere risolvendo l'equazione differenziale omogenea associata in due intervalli distinti:

$[x(t)=Ae^(-t)+B] ^^ [0 lt= t lt 1]$

$[x(t)=Ce^(-t)+D] ^^ [t gt 1]$

e imponendo le quattro condizioni seguenti:

$[x(0)=0] ^^ [dotx(0)=0] ^^ [lim_(x->1^+)x(t)=lim_(x->1^-)x(t)] ^^ [lim_(x->1^+)dotx(t)=1+lim_(x->1^-)dotx(t)]$

Ti ringrazio davvero, proverò a procedere così. Un'ultima cosa: l'ultima condizione che hai imposto deriva dal fatto che consideriamo tempi maggiori di $1$ e quindi la $\delta$ assume il suo unico valore non nullo?

Poiché il supporto della $[\delta(t-1)]$ è esclusivamente $[t=1]$, se $[t ne 1]$ l'equazione è omogenea. Tuttavia, la sua presenza richiede che $[x(t)]$ sia continua e che $[x'(t)]$ abbia una discontinuità di prima specie con salto unitario per $[t=1]$. Dal punto di vista fisico, all'istante $[t=1]$ agisce una forza impulsiva di impulso unitario che, essendo la massa unitaria, modifica le condizioni iniziali in $[x(1)=0] ^^ [dotx(1)=1]$.